TIPOS DE MATRICES || Matemáticas || Bachillerato || PDF

Una vez visto el concepto de matriz , pasamos a estudiar los tipos de matrices.

Tipos de matrices matematicas algebra ejemplos

Teniendo claro las diferentes características de una matriz: dimensión (filas y columnas) y elementos (generalmente números reales), podemos clasificar las matrices con ejemplos. Tipos de matrices .

¿ Cuales son los diferentes tipos de matrices ?

Matriz fila o vector fila

¿Qué es matriz fila y ejemplo?

  • Solo tiene una fila
  • Dimensión: \,1\times n

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\end{pmatrix}

Matriz columna o vector columna

  • Solo tiene una columna
  • Dimensión: \,m\times 1

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}

Matriz columna

  • Tiene igual numero de filas que de columnas
  • Dimensión: \,m\times m donde siempre \,m=m

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}

Matriz rectangular

  • Tiene distinto numero de filas que de columnas
  • Dimensión: \,m\times n donde siempre \,m\neq n

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}0 & 2\\ 1 & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}

Matriz triangular

  • Matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (triangular inferior) o por debajo (triangular inferior) de la diagonal principal son nulos

Triangular inferior: \,\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ 1 & 7 & 5\end{pmatrix}

Triangular superior: \,\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}

Matriz diagonal

  • Matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son nulos

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}

Matriz escalar

  • Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales.

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

Matriz diagonal

  • Matriz escalar con sus elementos diagonales iguales a 1

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Matriz nula o matriz cero

  • Matriz en la que todos los elementos son cero

Ejemplo: \,\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Matriz traspuesta de A

  • Dada la matriz A, se llama traspuesta de A y se representa por \,A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas

Si \,A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}

\,A^t=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 0\\ 2 & 5 & 0\end{pmatrix}

Matriz simetrica

  • Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta \,A^t=A.
  • Los elementos de la diagonal principal son iguales.

¿Cuándo dos matrices son simetricas?

Para saber si dos matrices son simetricas debemos de comprobar si cada una de las matrices coinciden con la traspuesta de la otra. (Como vemos en el ejemplo.)

 \,A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2\\ 3 & 1 & 5\\ 4 & 3 & 0\end{pmatrix}=A^t

Matriz antisimetrica o hemisimetrica

  • Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta pero de signo opuesto\,A^t =-A.
  • Los elementos de la diagonal principal son nulos.

¿Cómo saber si una matriz es antisimetrica?

Para saber si una matriz es antisimetrica de otra debemos de comprobar si coincide con la traspuesta y de signo opuesto. (Como podemos ver en el ejemplo)

\,A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 5\\ 4 & 0 & 0\end{pmatrix}=A^t

\,A^t=-A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -2\\ -3 & 0 & -5\\ -4 & 0 & 0\end{pmatrix}=A^t

 

Matriz inversa

  • La matriz inversa de una matriz cuadrada es la matriz \,A^{-1}, que verifica:

\,A\cdot A^{-1}=A^{-1}=\mathbf{I}.

Matriz regular

  • Matriz que posee inversa

Matriz singular

  • Matriz que no posee inversa

Matriz idempotente

¿Cuál es la matriz idempotente?

  • Matriz que verfica

\,A^2=A

Matriz involutiva

  • Matriz que verfica

\,A^2=\mathrm{I}

¿Cómo saber si una matriz es involutiva?

Por tanto una matriz es involutiva si verifica la propiedad anterior.

Matriz ortogonal

  • Matriz que verfica

\,A\cdot A^t=\mathrm{I}

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