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Teniendo claros los conceptos de determinante y de sus propiedades pasamos a la explicación de la matriz adjunta o matriz de adjuntos. Aquí dejamos los enlaces a las explicaciones:
Para poder explicar la matriz adjunta, primero tenemos que ver los conceptos de menor complementario y de los adjuntos de una matriz
¿Que es el menor complementario o la matriz complementaria de un elemento?
Definición del menor complementario
Para una matriz cuadrada de orden n, A , se llama menor complementario del elemento a_{ij} y se denota \alpha_{ij} , al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta de suprimir la fila i y la columna j.
Ejemplo explicativo
En la matriz A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 6\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}. Calculamos \alpha_{11} , \alpha_{31} y \alpha_{22}
\alpha_{11}=\begin{vmatrix}5 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix}=20+12=32
\alpha_{31}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=12-15=-3
\alpha_{22}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4-9=-5
¿Que son los adjuntos de una matriz?
Definición de los adjuntos de una matriz
Se llama adjunto del elemento a_{ij} y lo denotamos como A_{ij}, al menor complementario de a_{ij} mutliplicado por (-1)^{i+j}
A_{ij}=(-1)^{i+j}\alpha_{ij}
Ejemplo explicativo
Calculamos todos los menores complementarios de la matriz A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 6\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
\alpha_{11}=\begin{vmatrix}5 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix}=20+12=32
\alpha_{12}=\begin{vmatrix}0 & 6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=0-18=-18
\alpha_{13}=\begin{vmatrix}0 & 5 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}=0-15=-15
\alpha_{21}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ -2 & 4 \end{vmatrix}=8+6=14
\alpha_{22}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=4-9=-5
\alpha_{23}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}=-2-6=-8
\alpha_{31}=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=12-15=-3
\alpha_{32}=\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 0 & 6 \end{vmatrix}=6-0=6
\alpha_{33}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=5-0=5
Calculamos los adjuntos:
A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 32
A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot (-18)
A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot (-15)
A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot 14
A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot (-5)
A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot (-8)
A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot (-3)
A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot 6
A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot 5
¿Que es la matriz adjunta? Definición y explicación
Matriz adjunta definición
La matriz adjunta es la matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada A. Es decir, es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Se denomina Adj(A)
Ejemplo explicativo de como calcular la matriz adjunta
Adj(A)=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{pmatrix}=
=\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\cdot 32 & (-1)^{1+2}\cdot (-18) & (-1)^{1+3}\cdot (-15)\\-1)^{2+1}\cdot 14 & (-1)^{2+2}\cdot (-5) & (-1)^{2+3}\cdot (-8) \\ (-1)^{3+1}\cdot (-3) & (-1)^{3+2}\cdot 6 &(-1)^{3+3}\cdot 5\end{pmatrix}=
=\begin{pmatrix}32 & 18 & -15 \\ -14 & -5 & 8\\ -3 & -6 & 5\end{pmatrix}
Matriz adjunta 2×2 ejemplos y ejercicios resueltos
Para obtener la adjunta de una matriz 2×2 seguimos el procedimiento indicada arriba.
Ejemplo explicativo para calcular la adjunta de una matriz 2×2
¿Como se calcula la matriz adjunta 2×2?
Sea la matriz A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}. Calcular su matriz adjunta.
Siguiendo el procedimiento general para calcular matrices adjuntas obtenemos primero los menores complementarios y con ellos , obtenemos los adjuntos. Formando asi la matriz de ajuntos o la matriz adjunta de A
\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}4 & -3\\ -1 & 2\end{pmatrix}
Ejercicios resueltos de matriz adjunta 2×2
Ejercicio 1: Sea la matriz A=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}. Calcular su matriz adjunta.
Siguiendo el procedimiento general para calcular matrices adjuntas obtenemos
\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}2 & -2\\ -1 & 0\end{pmatrix}
Ejercicio 2: Sea la matriz B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}. Calcular su matriz adjunta.
Siguiendo el procedimiento general para calcular matrices adjuntas obtenemos
\mathrm{Adj}(B)=\begin{pmatrix}2 & -3\\ -1 & 1\end{pmatrix}
Ejercicio 3: Sea la matriz 2×2 C=\begin{pmatrix}10 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}. Calcular su adjunta.
\mathrm{Adj}(C)=\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 10\end{pmatrix}
Matriz adjunta 3×3 ejemplos y ejercicios resueltos
Para obtener la adjunta de una matriz 3×3 seguimos el procedimiento indicada arriba:
- Calculamos los menores complementarios de la matriz 3×3 dada
- Hallamos los adjuntos
- Calculamos la matriz adjunta con los adjuntos
Ejemplo explicativo para calcular la adjunta de una matriz 3×3
¿Como se calcula la matriz adjunta 3×3?
Sea A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 2\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
Siguiendo el procedimiento general para calcular matrices adjuntas obtenemos primero los menores complementarios y con ellos , obtenemos los adjuntos. Formando asi la matriz de ajuntos o la adjunta de la matriz A
\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}2 & -4 & -7\\ 0 & -2 & -2\\ -2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
Ejercicios resueltos de matriz adjunta 3×3
Ejercicio 1: Calcula adjunta de la siguiente matriz 3×3 A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 6 & 7 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando los menores complementarios y los adjuntos , obtenemos la adjunta de una matriz 3×3 :
\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-31 & 28 & -10\\ 22 & -18 & -6\\ -17 & 6 & 2 \end{pmatrix}
Ejercicio 2: Calcula adjunta de la siguiente matriz 3×3 B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando los menores complementarios y los adjuntos , obtenemos la adjunta de una matriz 3×3 :
\mathrm{Adj}(B)=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Ejercicio 3: Calcula matriz adjunta de la siguiente matriz 3×3 C=\begin{pmatrix}10 & 0 & 20\\ 20 & 10 & 0\\ 20 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando los menores complementarios y los adjuntos , obtenemos la matriz adjunta 3×3 :
\mathrm{Adj}(B)=\begin{pmatrix}10 & 20 & -200\\ -20 & -390 & 400\\ -180 & -10 & 100 \end{pmatrix}