Calcular Matriz Inversa con ejemplos y ejercicios 3×3 2×2 4×4

Conceptos previos imprescindibles para entender la matriz inversa:

• Concepto de matriz y tipos
• Propiedades de los determinantes
• Calculo de determinantes
• Matriz adjunta

Todo lo que necesitas saber sobre la matriz inversa:

¿Que es matriz inversa?, definición, ejemplos  y  ejercicios , como se obtiene y como calcular la matriz inversa , propiedades de la matriz inversa, formula, matriz inversa por adjuntos, matriz inversa 2×2,  3×3, 4×4,

Que es una matriz inversa definicion y ejemplos. La inversa de una matriz

Definición de matriz inversa

Primero comenzamos con la definición:

La matriz inversa de una matriz \,A cuadrada de orden \,n , es una matriz tambien cuadrada y del mismo orden tal que :

\,A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I  donde

\,A^{-1} es la matriz inversa de orden \,n y \,I es la matriz identidad de orden \,n

Matriz regular o inversible o matriz regular

Matriz regular o inversible : tiene inversa

Matriz singular : no tiene inverse

Ejemplo de la matriz inversa y como comprobar si una matriz es invertible

Sea \,A=\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix} y \,B=\begin{pmatrix}3 & -5\\ 1 & -2\end{pmatrix}

Vamos a comprobar que son inversibles , cada una es la inversa de otra.  Para ello usaremos la definicion de matriz inversa. Por lo tanto:

\,A\cdot B=\begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3 & -5\\ 1 & -2\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}6-5 & -10+10\\ 3-3 & -5+6\end{pmatrix}=

\, =\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I

\,B\cdot A=\begin{pmatrix}3 & -5\\ -1 & 2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix}6-5 & 15-15\\ -2+2 & -5+6\end{pmatrix}=

\, =\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I

Por lo tanto queda demostrado que son una la inversa de la otra.

Con el ejemplo anterior hemos visto un método para comprobar como una matriz es inversa de otra.

Las 4 propiedades de la matriz inversa

Una vez vista la definicion de la matriz inversa vamos a ver sus propiedades.

Sea \,A^{-1} y \,B^{-1} dos matrices inversas

• \,(A^{-1})^{-1}=A
• Si existe \,A^{-1} es unica : la matriz inversa es unica.
• \,(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}
• \,\left | A^{-1} \right |=\frac{1}{\left | A \right |}

Que matrices tienen inversa . Cuando una matriz tiene inversa

Las condiciones para que una matriz tenga inversa son las siguientes:

• Debe de ser cuadrada
• El determinante de la matriz debe de distinto de cero

\,\left | A \right |\neq 0

Que matriz no tiene inversa

Si deja de cumplir una de las condiciones siguientes , la matriz no tiene inversa

• Debe de ser cuadrada
• El determinante de la matriz debe de distinto de cero

\,\left | A \right |\neq 0

Calcular la matriz inversa por adjuntos y determinantes.

Como se obtiene la matriz inversa. En este apartado vamos a resolver este problema por el metodo de adjuntos y determinantes.

Para cacular la matriz inversa por el metodo de adjuntos y determinantes haremos uso de la siguiente propiedad:

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

donde \,(A^{d}) es la matriz de adjuntos de \,A y \,(A^{d})^{t} , su traspuesta.

Es decir, el procedimiento para calcular la matriz inversa es :

1. Calcular el determinante de la matriz  \,A
2. Calcular la matriz de adjuntos \,(A^{d})
3. Calcular la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos\,(A^{d})^{t}
4. Por ultimo usaremos la formula : matriz inversa formula \,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

Matriz inversa formula

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

Vamos a ver este procedimiento con un ejemplo :

Ejemplo  Calcular la matriz inversa por metodo de adjuntos y determinantes.

Sea \,A=\begin{pmatrix}1 & -3& 2\\ 2 & 5& 0\\ 0 & -1& -2\end{pmatrix}

Primero , comprobamos las condiciones que debe cumplir para que sea invertible:

• Es una matriz cuadrada
• Su determinante es distinto de cero

\,\left | A \right |=\begin{vmatrix}1 & -3& 2\\ 2 & 5& 0\\ 0 & -1& -2\end{vmatrix}=-26\neq 0

Segundo , calculamos la matriz de adjuntos \,(A^{d})

\,A_{11}=+\begin{vmatrix}5 & 0\\ -1 & -2\end{vmatrix}=-10

\,A_{12}=-\begin{vmatrix}2 & 0\\ 0 & -2\end{vmatrix}=4

\,A_{13}=+\begin{vmatrix}2 & 5\\ 0 & -1\end{vmatrix}=-2

\,A_{21}=-\begin{vmatrix}-3 & 2\\ -1 & -2\end{vmatrix}=-8

\,A_{22}=+\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & -2\end{vmatrix}=-2

\,A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 3\\ 0 & -1\end{vmatrix}=1

\,A_{31}=+\begin{vmatrix}-3 & 2\\ 5 & 0\end{vmatrix}=-10

\,A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 2\\ 2 & 0\end{vmatrix}=4

\,A_{33}=+\begin{vmatrix}1 & -3\\ 2 & 5\end{vmatrix}=11

Por lo tanto

A^{d}=\begin{pmatrix}-10 & 4 & -2\\ -8 & -2 & 1\\ -10 & 4 & 11\end{pmatrix}

Tercero , calculamos la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos \,(A^{d})^{t}

(A^{d})^{t}=\begin{pmatrix}-10 & -8 & -10\\ 4 & -2 & 4\\ -2 & 1 & 11\end{pmatrix}

Cuarto, aplicamos \,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{t}}{\left | A \right |}=\frac{1}{-26}\begin{pmatrix}-10 & -8 & -10\\ 4 & -2 & 4\\ -2 & 1 & 11\end{pmatrix}

Simplificando nos queda

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}5/13 & 4/13 & 5/13\\ -2/13 & 1/13 & -2/13\\ 1/13 & -1/26 & -11/26\end{pmatrix}

Matriz inversa 2×2 con ejercicios resueltos y ejemplos 

Formula matriz inversa 2×2

La formula usada para calcular una matriz inversa 2×2 es la formula general:

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

Ejemplos resueltos paso a paso con explicación para calcular una matriz inversa 2×2

Vamos a resolver un ejercicio de calcular la inversa de una matriz 2×2.

\,A

Sea \,A=\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1 & 4\end{pmatrix}

Primero , comprobamos las condiciones que debe cumplir para que sea invertible:

• Es una matriz cuadrada
• Su determinante es distinto de cero

\,\left | A \right |=\begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 4\end{vmatrix}=7\neq 0

Segundo , calculamos la matriz de adjuntos \,(A^{d})

\,A_{11}=4 \,A_{21}=-5 \,A_{21}=-1 \,A_{22}=3

Por lo tanto

\,A^{d}=\begin{pmatrix}4 & -1\\ -5 & 3\end{pmatrix}

Tercero , calculamos la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos \,(A^{d})^{t}

\,(A^{d})^t=\begin{pmatrix}4 & -5\\ -1 & 3\end{pmatrix}

Cuarto, aplicamos \,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{t}}{\left | A \right |}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}4 & -5\\ -1 & 3\end{pmatrix}

Simplificando nos queda

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}4/7 & -5/7\\ -1/7 & 3/7\end{pmatrix}

5 Ejercicio resueltos de Matriz inversa 2×2  por determinantes paso paso

Ejercicio 1

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 2×2

A=\begin{pmatrix}2&1\\ 3&3\end{pmatrix}

inversa

1.Calculamos la traspuesta de la adjunta o la adjunta de la traspuesta (es lo mismo)

\begin{pmatrix}3&-1\\ \:-3&2\end{pmatrix}

2.Calculamos el determinante de la matriz

\det \begin{pmatrix}2&1\\ 3&3\end{pmatrix}=3

2.Aplicamos la formula general

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{3}\\ -1&\frac{2}{3}\end{pmatrix}

Ejercicio 2

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 2×2

A=\begin{pmatrix}1&1\\ 0\:&2\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}\\ 0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

Ejercicio 3

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 2×2

A=\begin{pmatrix}0&1\\ \:\:0\:&5\end{pmatrix}

No existe la matriz inversa

Ejercicio 4

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 2×2

A=\begin{pmatrix}9&11\\ \:\:\:45&10\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{81}&\frac{11}{405}\\ \frac{1}{9}&-\frac{1}{45}\end{pmatrix}

Ejercicio 5

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 2×2

A=\begin{pmatrix}5&1\\ \:\:0\:&5\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{25}\\ 0&\frac{1}{5}\end{pmatrix}

Matriz inversa 3×3 con ejercicios resueltos y ejemplos 

Formula matriz inversa 3×3

La formula usada para calcular una matriz inversa 3×3 es la formula general:

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

Ejemplos resueltos paso a paso con explicación para calcular una matriz inversa 3×3

Vamos a resolver un ejercicio de calcular la inversa de una matriz 3×3.

Sea \,A=\begin{pmatrix}1 & -1& 2\\ -2 & 0& 4\\ 0 & -2& 7\end{pmatrix}

Primero , comprobamos las condiciones que debe cumplir para que sea invertible:

• Es una matriz cuadrada
• Su determinante es distinto de cero

\,\left | A \right |=\begin{vmatrix}1 & -1& 2\\ -2 & 0& 4\\ 0 & -2& 7\end{vmatrix}=2\neq 0

Segundo , calculamos la matriz de adjuntos \,(A^{d})

\,A_{11}=+\begin{vmatrix}0 & 4\\ -2 & 7\end{vmatrix}=8

\,A_{12}=-\begin{vmatrix}-2 & 4\\ 0 & 7\end{vmatrix}=14

\,A_{13}=+\begin{vmatrix}-2 & 0\\ 0 & -2\end{vmatrix}=4

\,A_{21}=-\begin{vmatrix}-1 & 2\\ -2 & 7\end{vmatrix}=3

\,A_{22}=+\begin{vmatrix}1 & 2\\ 0 & 7\end{vmatrix}=7

\,A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & -1\\ 0 & -2\end{vmatrix}=2

\,A_{31}=+\begin{vmatrix}-1 & 2\\ 0 & 4\end{vmatrix}=-4

\,A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 2\\ -2 & 4\end{vmatrix}=-8

\,A_{33}=+\begin{vmatrix}1 & -1\\ -2 & 0\end{vmatrix}=-2

Por lo tanto

A^{d}=\begin{pmatrix}8 & 14 & 4\\ 3 & 7 & 2\\ -4 & -8 & -2\end{pmatrix}

Tercero , calculamos la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos \,(A^{d})^{t}

(A^{d})^{t}=\begin{pmatrix}8 & 3 & -4\\ 14 & 7 & -8\\ 4 & 2 & -2\end{pmatrix}

Cuarto, aplicamos \,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{T}}{\left | A \right |}

\,A^{-1}=\frac{(A^{d})^{t}}{\left | A \right |}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8 & 3 & -4\\ 14 & 7 & -8\\ 4 & 2 & -2\end{pmatrix}

Simplificando nos queda

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}4 & 3/2 & -2\\ 7 & 7/2 & -4\\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}

5 Ejercicios resueltos de Matriz inversa 3×3 por determinantes 

Ejercicio 1

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 3×3

A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 2&3&2\\ 1&1&4\end{pmatrix}

1.Calculamos la traspuesta de la adjunta o la adjunta de la traspuesta (es lo mismo)

2.Calculamos el determinante de la matriz

2.Aplicamos la formula general

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{10}{7}&-1&\frac{1}{7}\\ -\frac{6}{7}&1&-\frac{2}{7}\\ -\frac{1}{7}&0&\frac{2}{7}\end{pmatrix}

Ejercicio 2

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 3×3

A=\begin{pmatrix}4&2&0\\ \:0&7&2\\ \:7&1&2\end{pmatrix}

1.Calculamos la traspuesta de la adjunta o la adjunta de la traspuesta (es lo mismo)

2.Calculamos el determinante de la matriz

2.Aplicamos la formula general

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{3}{19}&-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\ \frac{7}{38}&\frac{2}{19}&-\frac{2}{19}\\ -\frac{49}{76}&\frac{5}{38}&\frac{7}{19}\end{pmatrix}

Ejercicio 3

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 3×3

A=\begin{pmatrix}4&2&2\\ \:\:2&4&2\\ \:\:9&5&3\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\ -\frac{3}{5}&\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\ \frac{13}{10}&\frac{1}{10}&-\frac{3}{5}\end{pmatrix}

Ejercicio 4

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 3×3

A=\begin{pmatrix}0&2&2\\ \:\:\:1&1&10\\ \:\:\:4&0&3\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\ \frac{37}{66}&-\frac{4}{33}&\frac{1}{33}\\ -\frac{2}{33}&\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\end{pmatrix}

Ejercicio 5

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 3×3

A=\begin{pmatrix}3&6&8\\ 5\:&0&3\\ 1\:&1&1\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}&\frac{18}{19}\\ -\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}&\frac{31}{19}\\ \frac{5}{19}&\frac{3}{19}&-\frac{30}{19}\end{pmatrix}

Matriz inversa 4×4

La inversa de una matriz 4×4 se obtiene mediante el mismo procedimiento que para las demás dimensiones pero sera mucho mas laborioso debido a que no existen métodos directos de cálculos de determinantes 4×4.

5 ejercicios resueltos de matriz inversa 4×4

Ejercicio 1

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 4×4

A=\begin{pmatrix}3&2&2&1\\ \:3&1&1&1\\ \:1&2&1&0\\ \:0&2&1&0\end{pmatrix}

\,A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1&-1\\ -1&1&0&1\\ 2&-2&0&-1\\ -1&2&-3&3\end{pmatrix}

Ejercicio 2 

Calcule la inversa de la siguiente matriz 4×4

B=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\ \:2&0&0&1\\ \:2&2&2&2\\ \:1&1&1&1\end{pmatrix}

La matriz es singular por lo que no tiene matriz inversa.

Ejercicio 3

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz 4×4

C=\begin{pmatrix}1&1&2&2\\ \:\:\:\:\:\:\:2&1&1&1\\ \:\:\:\:\:\:\:2&2&2&2\\ \:\:\:\:\:\:\:1&1&2&1\end{pmatrix}

\,C^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&-\frac{1}{2}&0\\ -1&-1&\frac{3}{2}&0\\ 0&0&-\frac{1}{2}&1\\ 1&0&0&-1\end{pmatrix}

Ejercicio 4

Calcule la inversa de la siguiente matriz 4×4

D=\begin{pmatrix}0&5&1&0\\ \:4&4&4&4\\ \:1&2&3&4\\ \:3&1&1&2\end{pmatrix}

\,C^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{15}&\frac{1}{6}&-\frac{4}{15}&\frac{1}{5}\\ \frac{4}{15}&-\frac{1}{6}&\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{3}&\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}&-1\\ \frac{2}{15}&-\frac{7}{12}&\frac{8}{15}&\frac{3}{5}\end{pmatrix}

Ejercicio 5

Calcule la inversa de la siguiente matriz 4×4

E=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ \:\:\:\:4&0&0&0\\ \:\:\:\:1&2&0&0\\ \:\:\:\:0&1&1&0\end{pmatrix}

La matriz es singular por lo que no tiene matriz inversa.