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Multiplicacion de matrices :
Primero debemos saber e identificar las filas y columnas de una matriz
Sea \,\mathrm{A} una matriz de dimension \,m \,\,\times \,\,p \,\mathrm{A}_{\mathrm{m}\times \mathrm{p}}
- \,m es el numero de filas
\,\begin{pmatrix}-- & -- & --\\ -- & -- &-- \\ -- & -- & --\end{pmatrix}
- \,p es el numro de columnas
\,\begin{pmatrix}\,| &| &| \\ | & | &| \\ | &| & |\end{pmatrix}
Definicion y condicion para la multiplicacion de matrices . Producto de matrices
| Para multiplicar dos matrices entre si es necesario que el numero de COLUMNAS de la primera matriz coincida con el numero de FILAS de la segunda matriz. |
Sea
\,\mathrm{A} una matriz de dimension \,m \,\,\times \,\,p
y
\,\mathrm{B} una matriz de dimension \,n \,\,\times \,\,q
Para que sea posible el producto de matrices
\mathrm{A} \times \mathrm{B}
se debe de cumplir
\,p=n
es decir el numero de columnas de \,\mathrm{A} sea igual al numero de filas de \,\mathrm{B}
y las dimensiones de la matriz resultante seran \,m\times q
Por lo tanto,
\,{\color{Blue} \mathrm{A}_{\mathrm{m}\times \mathrm{p}}\times \mathrm{B}_{\mathrm{n}\times \mathrm{q}}=\mathrm{C}_{\mathrm{m}\times \mathrm{q}}} [sc name=»Banner Multi»]
Multiplicacion de matrices explicación con ejemplos
Para el producto de matrices vamos a seguir un metodo que se puede resumir como:
Multiplicar filas por columnas
Vamos a explicar esto con un ejemplo sencillo:
Sea \,\mathrm{A}=\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 1 & 1\\ 4 & 0\end{pmatrix} que es de dimensión \,3\times 2
Sea \,\mathrm{B}=\begin{pmatrix}-1 & -3\\ 2 & 0\end{pmatrix} que es de dimensión \,2\times 2
Comprobamos que el numero de columnas de la matriz \,\mathrm{A} es igual que el numero de filas de la matriz \,\mathrm{B} , que coincide y es \,2. Por lo tanto, si se puede realizar el producto de matrices.
Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la primera fila de \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de \,\mathrm{B} y el resultado formara la primera fila de la matriz resultante.
\, \begin{pmatrix}{\color{Blue} -2} & {\color{Blue} 9}\\ 1 & 1\\ 4 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=
\,=\begin{pmatrix}{\color{Blue} -2}\cdot {\color{Red} -1} + {\color{Blue} 9}\cdot {\color{Red} -2}&\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\;\; \\ & \\ & \end{pmatrix}=
\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &{\color{Blue} -2}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 9}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \\ & \\ & \end{pmatrix} [sc name=»Banner Multi»]
Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la segunda fila de \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de \,\mathrm{B} y el resultado formara la segunda fila de la matriz resultante.
\, \begin{pmatrix} -2 & 9\\ {\color{Blue} 1} & {\color{Blue} 1}\\ 4 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=
\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 & -2\cdot-3 +9\cdot0\\ {\color{Blue} 1}\cdot {\color{Red} -1} +{\color{Blue} 1}\cdot {\color{Red} 2} & \\ & \end{pmatrix}=
\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& {\color{Blue} 1}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 1}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \\ & \end{pmatrix}
Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la tercera fila de \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de \,\mathrm{B} y el resultado formara la tercera fila de la matriz resultante.
\, \begin{pmatrix} -2 & 9\\ 1 & 1\\ {\color{Blue} 4} &{\color{Blue} 0} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=
\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& 1\cdot -3 + 1\cdot 0 \\ {\color{Blue} 4}\cdot {\color{Red} -1} +{\color{Blue} 0}\cdot {\color{Red} 2} & \end{pmatrix}=
\, =\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& 1\cdot -3 + 1\cdot 0 \\ 4\cdot -1 +0\cdot 2 & {\color{Blue} 4}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 0}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \end{pmatrix}
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Multiplicación de matrices 3×3 con ejercicios resueltos y ejemplos paso a paso
El producto entre matrices 3×3 se puede realizar por que claramente el numero de columnas de la primera coincide con el numero de filas de la segunda y la matriz resultante sera una matriz 3×3.
Para calcular dicho producto vamos a seguir los paso y la regla explicada anteriormente:
Multiplicar filas por columnas
Ejercicio 1
Sea \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}2&4&2\\ \:6&1&2\\ \:3&5&1\end{pmatrix}} y \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&3&1\\ \:8&2&5\\ \:1&3&2\end{pmatrix}}. Calcular \,\mathbf{A\times B}
Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:
\,A\times B=\begin{pmatrix}2\cdot \:4+4\cdot \:8+2\cdot \:1&2\cdot \:3+4\cdot \:2+2\cdot \:3&2\cdot \:1+4\cdot \:5+2\cdot \:2\\ 6\cdot \:4+1\cdot \:8+2\cdot \:1&6\cdot \:3+1\cdot \:2+2\cdot \:3&6\cdot \:1+1\cdot \:5+2\cdot \:2\\ 3\cdot \:4+5\cdot \:8+1\cdot \:1&3\cdot \:3+5\cdot \:2+1\cdot \:3&3\cdot \:1+5\cdot \:5+1\cdot \:2\end{pmatrix}
Simplificando queda
A\times B=\begin{pmatrix}42&20&26\\ 34&26&15\\ 53&22&30\end{pmatrix} [sc name=»Banner Multi»]
Ejercicio 2
Sea \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}3&5&1\\ \:3&1&2\\ \:4&7&5\end{pmatrix}} y \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&3&1\\ \:8&2&5\\ \:1&3&2\end{pmatrix}}. Calcular \,\mathbf{A\times B}
Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:
\,A\times B=\begin{pmatrix}3\cdot \:0+5\cdot \:4+1\cdot \:2&3\cdot \:2+5\cdot \:5+1\cdot \:3&3\cdot \:6+5\cdot \:1+1\cdot \:0\\ 3\cdot \:0+1\cdot \:4+2\cdot \:2&3\cdot \:2+1\cdot \:5+2\cdot \:3&3\cdot \:6+1\cdot \:1+2\cdot \:0\\ 4\cdot \:0+7\cdot \:4+5\cdot \:2&4\cdot \:2+7\cdot \:5+5\cdot \:3&4\cdot \:6+7\cdot \:1+5\cdot \:0\end{pmatrix}
Simplificando queda
A\times B=\begin{pmatrix}22&34&23\\ 8&17&19\\ 38&58&31\end{pmatrix}
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Multiplicación de matrices 2×2 con ejercicio resueltos y ejemplos paso a paso
El producto entre matrices 2×2 se puede realizar por que claramente el numero de columnas de la primera coincide con el numero de filas de la segunda y la matriz resultante sera una matriz 2×2.
Para calcular dicho producto vamos a seguir los paso y la regla explicada anteriormente:
Multiplicar filas por columnas
Ejercicio 1
Sea \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}1&5\\ \:2&3\end{pmatrix}} y \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&2\\ \:3&2\end{pmatrix}}. Calcular \,\mathbf{A\times B}
Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:
\,A\times B=\begin{pmatrix}1\cdot \:4+5\cdot \:3&1\cdot \:2+5\cdot \:2\\ 2\cdot \:4+3\cdot \:3&2\cdot \:2+3\cdot \:2\end{pmatrix}
Simplificando queda
A\times B=\begin{pmatrix}19&12\\ 17&10\end{pmatrix} [sc name=»Banner Multi»]
Ejercicio 2
Sea \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}3&2\\ \:1&5\end{pmatrix}} y \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}6&2\\ \:3&8\end{pmatrix}}. Calcular \,\mathbf{A\times B}
Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:
\,A\times B=\begin{pmatrix}3\cdot \:6+2\cdot \:3&3\cdot \:2+2\cdot \:8\\ 1\cdot \:6+5\cdot \:3&1\cdot \:2+5\cdot \:8\end{pmatrix}
Simplificando queda
A\times B=\begin{pmatrix}24&22\\ 21&42\end{pmatrix}
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