Multiplicacion de matrices 2×2 3×3 con ejercicios y ejemplos resueltos

Multiplicacion de matrices :

Primero debemos saber e identificar las filas y columnas de una matriz

Sea \,\mathrm{A} una matriz de dimension \,m \,\,\times \,\,p \,\mathrm{A}_{\mathrm{m}\times \mathrm{p}}

  • \,m es el numero de filas

\,\begin{pmatrix}-- & -- & --\\ -- & -- &-- \\ -- & -- & --\end{pmatrix}

  • \,p es el numro de columnas

\,\begin{pmatrix}\,| &| &| \\ | & | &| \\ | &| & |\end{pmatrix}

Definicion y condicion para la multiplicacion de matrices . Producto de matrices

Para multiplicar dos matrices entre si es necesario que el numero de COLUMNAS de la primera matriz coincida con el numero de FILAS de la segunda matriz.

Sea

\,\mathrm{A} una matriz  de dimension \,m \,\,\times \,\,p

y

\,\mathrm{B} una matriz  de dimension \,n \,\,\times \,\,q

Para que sea posible el producto de matrices

\mathrm{A} \times \mathrm{B}

se debe de cumplir

\,p=n

es decir el numero de columnas de  \,\mathrm{A} sea igual al numero de filas de  \,\mathrm{B}

y las dimensiones de la matriz resultante seran  \,m\times q

Por lo tanto,

\,{\color{Blue} \mathrm{A}_{\mathrm{m}\times \mathrm{p}}\times \mathrm{B}_{\mathrm{n}\times \mathrm{q}}=\mathrm{C}_{\mathrm{m}\times \mathrm{q}}}

Multiplicacion de matrices explicación con ejemplos

Para el producto de matrices vamos a seguir un metodo que se puede resumir como:

Multiplicar filas por columnas

 Vamos a explicar esto con un ejemplo sencillo:

Sea  \,\mathrm{A}=\begin{pmatrix}-2 & 9\\ 1 & 1\\ 4 & 0\end{pmatrix} que es de dimensión  \,3\times 2

Sea  \,\mathrm{B}=\begin{pmatrix}-1 & -3\\ 2 & 0\end{pmatrix} que es de dimensión  \,2\times 2

Comprobamos que el numero de columnas de la matriz \,\mathrm{A} es igual que el numero de filas de la matriz \,\mathrm{B} , que coincide y es \,2. Por lo tanto, si se puede realizar el producto de matrices.

Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la primera fila de  \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de  \,\mathrm{B} y el resultado formara la primera fila de la matriz resultante.

\, \begin{pmatrix}{\color{Blue} -2} & {\color{Blue} 9}\\ 1 & 1\\ 4 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=

\,=\begin{pmatrix}{\color{Blue} -2}\cdot {\color{Red} -1} + {\color{Blue} 9}\cdot {\color{Red} -2}&\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\;\; \\ & \\ & \end{pmatrix}=

  \,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &{\color{Blue} -2}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 9}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \\ & \\ & \end{pmatrix}

 

Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la segunda fila de  \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de  \,\mathrm{B} y el resultado formara la segunda fila de la matriz resultante.

\, \begin{pmatrix} -2 & 9\\ {\color{Blue} 1} & {\color{Blue} 1}\\ 4 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=

\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 & -2\cdot-3 +9\cdot0\\ {\color{Blue} 1}\cdot {\color{Red} -1} +{\color{Blue} 1}\cdot {\color{Red} 2} & \\ & \end{pmatrix}=

\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& {\color{Blue} 1}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 1}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \\ & \end{pmatrix}

Multiplicamos (producto escalar, componente a componente) la tercera fila de  \,\mathrm{A} por cada una de las columnas de  \,\mathrm{B} y el resultado formara la tercera fila de la matriz resultante.

\, \begin{pmatrix} -2 & 9\\ 1 & 1\\ {\color{Blue} 4} &{\color{Blue} 0} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{\color{Red}-1} & {\color{DarkGreen} -3} \\ {\color{Red}2} & {\color{DarkGreen} 0}\end{pmatrix}=

\,=\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& 1\cdot -3 + 1\cdot 0 \\ {\color{Blue} 4}\cdot {\color{Red} -1} +{\color{Blue} 0}\cdot {\color{Red} 2} & \end{pmatrix}=

\, =\begin{pmatrix}-2\cdot-1 +9\cdot-2 &-2\cdot-3 +9\cdot0 \\ 1\cdot-1 +1\cdot2& 1\cdot -3 + 1\cdot 0 \\ 4\cdot -1 +0\cdot 2 & {\color{Blue} 4}\cdot {\color{DarkGreen} -3} + {\color{Blue} 0}\cdot {\color{DarkGreen} 0} \end{pmatrix}

 

Multiplicación de matrices 3×3 con ejercicios resueltos y  ejemplos paso a paso

El producto entre matrices 3×3 se puede realizar por que claramente el numero de columnas de la primera coincide con el numero de filas de la segunda y la matriz resultante sera una matriz 3×3.

Para calcular dicho producto vamos a seguir los paso y la regla explicada anteriormente:

Multiplicar filas por columnas


Ejercicio 1

Sea  \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}2&4&2\\ \:6&1&2\\ \:3&5&1\end{pmatrix}} \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&3&1\\ \:8&2&5\\ \:1&3&2\end{pmatrix}}. Calcular  \,\mathbf{A\times B}

Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:

\,A\times B=\begin{pmatrix}2\cdot \:4+4\cdot \:8+2\cdot \:1&2\cdot \:3+4\cdot \:2+2\cdot \:3&2\cdot \:1+4\cdot \:5+2\cdot \:2\\ 6\cdot \:4+1\cdot \:8+2\cdot \:1&6\cdot \:3+1\cdot \:2+2\cdot \:3&6\cdot \:1+1\cdot \:5+2\cdot \:2\\ 3\cdot \:4+5\cdot \:8+1\cdot \:1&3\cdot \:3+5\cdot \:2+1\cdot \:3&3\cdot \:1+5\cdot \:5+1\cdot \:2\end{pmatrix}

Simplificando queda

A\times B=\begin{pmatrix}42&20&26\\ 34&26&15\\ 53&22&30\end{pmatrix}


Ejercicio 2

Sea  \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}3&5&1\\ \:3&1&2\\ \:4&7&5\end{pmatrix}} \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&3&1\\ \:8&2&5\\ \:1&3&2\end{pmatrix}}. Calcular  \,\mathbf{A\times B}

Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:

\,A\times B=\begin{pmatrix}3\cdot \:0+5\cdot \:4+1\cdot \:2&3\cdot \:2+5\cdot \:5+1\cdot \:3&3\cdot \:6+5\cdot \:1+1\cdot \:0\\ 3\cdot \:0+1\cdot \:4+2\cdot \:2&3\cdot \:2+1\cdot \:5+2\cdot \:3&3\cdot \:6+1\cdot \:1+2\cdot \:0\\ 4\cdot \:0+7\cdot \:4+5\cdot \:2&4\cdot \:2+7\cdot \:5+5\cdot \:3&4\cdot \:6+7\cdot \:1+5\cdot \:0\end{pmatrix}

Simplificando queda

A\times B=\begin{pmatrix}22&34&23\\ 8&17&19\\ 38&58&31\end{pmatrix}



Multiplicación de matrices 2×2 con ejercicio resueltos y ejemplos paso a paso

El producto entre matrices 2×2 se puede realizar por que claramente el numero de columnas de la primera coincide con el numero de filas de la segunda y la matriz resultante sera una matriz 2×2.

Para calcular dicho producto vamos a seguir los paso y la regla explicada anteriormente:

Multiplicar filas por columnas


Ejercicio 1

Sea  \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}1&5\\ \:2&3\end{pmatrix}} \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}4&2\\ \:3&2\end{pmatrix}}. Calcular  \,\mathbf{A\times B}

Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:

\,A\times B=\begin{pmatrix}1\cdot \:4+5\cdot \:3&1\cdot \:2+5\cdot \:2\\ 2\cdot \:4+3\cdot \:3&2\cdot \:2+3\cdot \:2\end{pmatrix}

Simplificando queda

A\times B=\begin{pmatrix}19&12\\ 17&10\end{pmatrix}


Ejercicio 2

Sea  \,A=\mathbf{\begin{pmatrix}3&2\\ \:1&5\end{pmatrix}} \, B=\mathbf{\begin{pmatrix}6&2\\ \:3&8\end{pmatrix}}. Calcular  \,\mathbf{A\times B}

Multiplicamos las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda obteniendo:

\,A\times B=\begin{pmatrix}3\cdot \:6+2\cdot \:3&3\cdot \:2+2\cdot \:8\\ 1\cdot \:6+5\cdot \:3&1\cdot \:2+5\cdot \:8\end{pmatrix}

Simplificando queda

A\times B=\begin{pmatrix}24&22\\ 21&42\end{pmatrix}



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