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Ejercicios resueltos de tensores
A continuación se deja una lista de ejercicios variados de tensores.
Ejercicio 1 . Contraccion
Sea\, e_1,e_2,e_3 una base del espacio dual\,E y \,w_1,w_2,w_3 su base dual. Calcular las coordenadas de \,ie=(\bar{w_1}\otimes\bar{w_2}\otimes \bar{w_3} ) siendo \,\bar{w_1}=w_1-2w_3,\bar{w_2}=-w_2+3w_3,\bar{w_3}=2w_1+w_2 y \,e=e_1-e_2+e_3.
Lo primero que vamos a calcular es la contracción interior , por definición :
\,ie(\bar{w_1}\otimes\bar{w_2}\otimes \bar{w_3} )=\bar{w_1}(e)\bar{w_2}\otimes \bar{w_3}
\,\bar{w_1}(e)=(w_1-2w_3)(e_1-e_2+e_3)=w_1(e_1)- \, w_1(e_2)+w_1(e_3)-2w_3(e_1)+2w_3(e_2)-2w_3(e_3)=
\,=1-2=-1
\,\bar{w_1}(e)=-1
donde hemos usado
\,w_i(e_i)=w_j(e_j)=1
\,w_i(e_j)=w_j(e_i)=0
Por lo tanto:
\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2\bar{w_2}\otimes \bar{w_3}
\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2((w_1-2w_3)\otimes(2w_1+w_2))
\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2(-2w_2\otimes w_1-w_2\otimes w_2+6w_3\otimes w_1+3w_3\otimes w_2)
Calculamos los coeficientes \,g_{ij} de\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3}) \in T_2^0(E) en la base \, e_1,e_2,e_3
\,g_{ij}=(w\otimes w{}')(e_i,e_j)=w(e_i)w{}'(e_j)
obteniendo
\,g_{11}=0 \, \, g_{12}=0 \, \,g_{13}=0
\,g_{22}=2 \, \, g_{21}=4 \, \,g_{23}=0
\,g_{33}=0 \, \, g_{31}=-12 \, \,g_{32}=-6
Por lo tanto , obtenemos la matriz
\,G=\begin{pmatrix} 0& 0& 0& \\ 4& 2& 0& \\ -12& -6 & 0& \end{pmatrix}
Bibliografia de algebra y tensores
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