Tensores Ejercicios resueltos




Ejercicios resueltos de tensores

A continuación se deja una lista de ejercicios variados de tensores.

Ejercicio 1 . Contraccion

Sea\, e_1,e_2,e_3 una base del espacio dual\,E\,w_1,w_2,w_3 su base dual. Calcular las coordenadas de \,ie=(\bar{w_1}\otimes\bar{w_2}\otimes \bar{w_3} ) siendo \,\bar{w_1}=w_1-2w_3,\bar{w_2}=-w_2+3w_3,\bar{w_3}=2w_1+w_2\,e=e_1-e_2+e_3.

Lo primero que vamos a calcular es la contracción interior , por definición :

\,ie(\bar{w_1}\otimes\bar{w_2}\otimes \bar{w_3} )=\bar{w_1}(e)\bar{w_2}\otimes \bar{w_3}

\,\bar{w_1}(e)=(w_1-2w_3)(e_1-e_2+e_3)=w_1(e_1)- \, w_1(e_2)+w_1(e_3)-2w_3(e_1)+2w_3(e_2)-2w_3(e_3)=

\,=1-2=-1

\,\bar{w_1}(e)=-1

donde hemos usado

\,w_i(e_i)=w_j(e_j)=1

\,w_i(e_j)=w_j(e_i)=0

Por lo tanto:

\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2\bar{w_2}\otimes \bar{w_3}

\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2((w_1-2w_3)\otimes(2w_1+w_2))

\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3})=-2(-2w_2\otimes w_1-w_2\otimes w_2+6w_3\otimes w_1+3w_3\otimes w_2)

Calculamos los coeficientes \,g_{ij} de\,ie(\bar{w_1}\otimes \bar{w_2}\otimes \bar{w_3}) \in T_2^0(E) en la base \, e_1,e_2,e_3

\,g_{ij}=(w\otimes w{}')(e_i,e_j)=w(e_i)w{}'(e_j)

obteniendo

\,g_{11}=0 \, \, g_{12}=0 \, \,g_{13}=0

\,g_{22}=2 \, \, g_{21}=4 \, \,g_{23}=0

\,g_{33}=0 \, \, g_{31}=-12 \, \,g_{32}=-6

Por lo tanto , obtenemos la matriz

\,G=\begin{pmatrix} 0& 0& 0& \\ 4& 2& 0& \\ -12& -6 & 0& \end{pmatrix}

Bibliografia de algebra y tensores




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