Determinante de una matriz 3×3 con ejemplos y ejercicios resueltos

Una vez visto lo que es un  determinante de una matriz 2×2 , pasamos a ver el determinante de una matriz 3×3 y como lo podemos calcular.

Calcular el determinante de una matriz 3×3 mediante el método de Sarrus

Para una matriz cuadrada de orden 3 A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} , se llama determinate de A , al numero real dado por

 \mathrm{det}(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=

 =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{32}a_{23}a_{11}

Este método se conoce como regla de Sarrus o método de Sarrus.

 

Ejemplos de como calcular el determinante de una matriz 3×3

Ejemplo 1

Sea la matrix 3×3

A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 7\\ -1 & 0 & 1\\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}

Calculamos su determinante mediante el metodo de Sarrus

 \mathrm{det}(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix}1 & 2 & 7\\ -1 & 0 & 1\\ 4 & 5 & 7\end{vmatrix}=

 =1\cdot 0\cdot 7+4\cdot 2\cdot 1+(-1)\cdot 5\cdot 7

 -4\cdot 0\cdot 7-1\cdot 1\cdot 5-(-1)\cdot 2\cdot 7=

=0+8-35-0+14-5=-18

Ejemplo 2

Sea la matrix 3×3

A=\begin{pmatrix}5 & 3 & 1\\ 2 & 0 & -4\\ 6 & 5 & 9 \end{pmatrix}

Calculamos su determinante mediante el metodo de Sarrus

 \mathrm{det}(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix}5 & 3 & 1\\ 2 & 0 & -4\\ 6 & 5 & 9\end{vmatrix}=

 =5\cdot 0\cdot 9+2\cdot 5\cdot 1+4\cdot (-4)\cdot 6

 -1\cdot 0\cdot 6-(-4)\cdot 5\cdot 5-2\cdot 3\cdot 9=

=0+10-72-0+100-54=-16

Ejemplo 3

Sea la matrix 3×3

A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 4\\ 6 & 2 & 5 \end{pmatrix}

Calculamos su determinante mediante el metodo de Sarrus

 \mathrm{det}(A)=\left | A \right |=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 4\\ 6 & 2 & 5 \end{vmatrix}=

 =5\cdot (-1)\cdot 1+0\cdot 2\cdot 3+2\cdot 4\cdot 6

 -6\cdot (-1)\cdot 3-1\cdot 2\cdot 4-0\cdot 2\cdot 5=

=53

Ejercicios resueltos con determinantes de matrices 3×3

Ejercicio 1. Halla los siguientes determinantes 

Calcular los siguientes determinantes 3×3 mediante la regla de Sarrus

A=\begin{vmatrix}3&1&2\\ \:1&1&1\\ \:3&3&3\end{vmatrix}

 \mathrm{det}(A)=\left | A \right |=0

 

B=\begin{vmatrix}1&1&2\\ \:\:1&2&1\\ \:\:1&3&3\end{vmatrix}

 \mathrm{det}(B)=\left | B \right |=3

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