Espacio y subespacio vectorial

Definición sencilla pera completa. Ejemplos y ejercicios resueltos. Todo lo que necesitas saber del espacio vectorial que es la base del álgebra lineal.

Espacio vectorial sobre un cuerpo DEFINICIÓN. 

Sea \,k un cuerpo.

Un \,kespacio vectorial o espacio vectorial sobre \,k es un conjunto \,E con dos operaciones , suma y multiplicacion por elementos de \,k , que verifican:

Suma. Propiedades de la suma

  1. Es una operación cerrada\,e+{e}'\in E , cualesquiera que sean  \,e,{e}'\in E
  2. Es asociativa\,(e+{e}')+{e}''=e+({e}'+{e}''), cualquiera que sean \,e,{e}',{e}''\in E
  3. Tiene elemento neutro: Existe \,0\in E tal que \,0+e=e+0=e , para todo  \,e\in E
  4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada \,E\in E existe \,-e\in E tal que\,e+(-e)=(-e)+e=0
  5. Es conmutativa: \,e+{e}'={e}'+e, cualesquiera que sean \,e,{e}'\in E

Multiplicación por elementos de \,k . Propiedades de la multiplicación

  1. Es una operación cerrada\,\lambda e\in E , cualesquiera que sean \,\lambda \in k \,e\in E
  2. \,\lambda (e+{e}')=\lambda e+\lambda{e}', cualesquiera que sean \,\lambda \in k y \,e,{e}'\in E
  3. \,(\lambda \mu )e=\lambda(\mu e) , cualesquiera que sean \,\lambda , \mu \in k y \,e,{e}'\in E
  4. \,(\lambda + \mu )e=\lambda e + \mu e, cualesquiera que sean \,\lambda , \mu \in E\,e\in E
  5. \,1e=e , siendo 1 la unidad de \,k

Los elementos del espacio vectorial  \,E se llaman vectores y los del cuerpo base \,k escalares.

Espacio vectorial EUCLIDEO o Euclideano DEFINICION

La definición , aunque tiende a parecer sencilla, conlleva conceptos que se ven en álgebra mas avanzada pero podemos definirlo como:

Sea \,(E,T_{2})  un espacio euclideo si  \,E es un espacio vectorial y  \,T_{2} es un meretricia euclidea.

Métrica euclidea

Una métrica \,T_{2} es euclidea si y solo si los menores diagonales de su matriz , respecto de cualquier base, son estrictamente positivos.

Subespacio vectorial DEFINICIÓN

Un subconjunto \,V de \,E es un subespacio vectorial de \,E  si es cerrado por combinaciones lineales, es decir, si \,\lambda v + \mu {v}' \in V cualesquiera que sean \,v , {v}' \in Vy\,\lambda , \mu {v}' \in k

Observa que para que \,V sea un subespacio vectorial necesariamente tiene que contener el vector cero, pero el recriproco no es cierto, \,V puede contener al vector cero y no ser subespacio.

Se representa por \,\left \langle e_1,...e_n \right \rangle el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores \,e_1,...,e_n.

Por definicion, \,\left \langle e_1,...e_n \right \rangle es un subespacio vectorial de\,E, el subespacio generado por los vectores \,e_1,...,e_n.

Conjunto generador

Si \,E=\left \langle e_1,...e_n \right \rangle, es decir, si todo vector de \,E se expresa como combinación lineal de \,e_1,...,e_n se dice que \,\left \{ e_1,...,e_n \right \} forman un sistema de generadores o conjunto generador de\,E.

Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensión.

\,k

Sea \,E un \,k-espacio vectorial.

Vectores linealmente dependientes y linealmente independientes.

Los vectores \,\left \{ e_1,...,e_n \right \}  de \,E son linealmente dependientes si algunos de ellos es combinación lineal de los otros, esto es , si \,e_i=\alpha_1e_1+...+\hat{e_i}+...+\alpha_ne_n para ciertos \,\alpha_1,....,\alpha_n\in k.. Que sea una combinación lineal de los otros quiere decir que se pueda formar sumando o restando los otros o multiplos de los otros.

Los vectores \,\left \{ e_1,...,e_n \right \}  de \,E son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinacion lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinacion lineal de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinacion lineal son cero, si \,\lambda _1e_1+...+\lambda _ne_n=0\Rightarrow  \,\lambda_1 =...=\lambda_n =0..

Base de un espacio vectorial

Los vectores \,\left \{ e_1,...,e_n \right \} forman una base de \,E si generan \,E y son linealmente independientes.

Coordenadas de un vector

Si \,e=\lambda_1e_1+...+\lambda_ne_n es la expresion del vector \,e en la base \,\left \{ e_1,...,e_n \right \} de \,E, los escalares \,(\lambda_1...\lambda_n) son las coordenadas del vector \,e en esa base.

Dimension de un espacio vectorial

Se llama dimensión del espacio vectorial \,E al numero de elementos de una base y se representa por \,dim_k E.

La dimensión de un espacio vectorial coincide con el numero máximo de vectores linealmente independientes y con el numero mínimo de generadores. Por tanto, en un espacio vectorial de dimensión n cualquiera n vectores linealmente independientes formar una base.

Suma e interseccion de subespacios. Suma directa y subesapacios suplementarios.

Sean\,E_1 y\,E_2 subespacios vectoriales de \,E.

Suma de subespacios

Se define la suma de subespacios \,E_1+E_2

\,E_1+E_2=\left \{ e \in E:e=u+v, \mathrm{donde}\, u\in E_1 \mathrm{\, y}\, v\in E_2 \right\}

Interseccion de subesapcios 

Se define la interseccion de subesapcios \,E_1\cap E_2

\,E_1\cap E_2=\left \{ e\in E: e\in E_1 \mathrm{\, y\, } e\in E_2 \right \}

Se verifica la siguiente formula de dimensión:

\,dim_k(E_1+ E_2)=

\,=dim_k E_1+dim_k E_2-dim_k(E_1\cap E_2)

Suma directa de subespacios definicion

¿Cuando una suma de subespacios es directa?

La suma directa de los subespacios \,E_1 y\,E_2 es la suma, \,E_1+E_2, cuando la interseccion es cero\,E_1\cap E_2=0. Se representa por \,E_1\oplus E_2

En particular , se cumple:

\,dim_k(E_1\oplus E_2)=dim_k E_1+ dim_k E_2

Es decir, para que dos subespacios esten en suma directa se tiene que cumplir:

  • La interseccion sea cero \,E_1\cap E_2=0

Subespacios suplementarios definicion

¿Cuando dos subespacios son suplementarios?

Los subesapcios \,E_1 y\,E_2 de \,E son suplementarios si

  • \,E_1+E_2=E
  • \,E_1\cap E_2=0

Es decir , si  \,E=E_1\oplus E_2=E

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