Propiedades de los determinantes con ejemplos y demostraciones y ejercicios resueltos

Las 9 propiedades de los determinantes explicadas con su demostración y ejemplos.

Propiedad 1

El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta
\,\mathrm{det(A)=det(A^t)}

Ejemplo

\,\left |\mathrm{A} \right |=\begin{vmatrix}1 & 2\\ -1 & 3\end{vmatrix}=3+2=5

\,\left |\mathrm{A^t} \right |=\begin{vmatrix}1 & -1\\ 2 & 3\end{vmatrix}=3+2=5

Propiedad 2

Si se multiplican todos los elementos de una fila o columa de una matriz cuadrada por un numero, el determinante queda multiplicado por dicho numero
\,\mathrm{det}(F_1,F_2,...,k\cdot F_i,,,F_n)=k\cdot\mathrm{det}(F_1,F_2,...,F_i,,,F_n)
\,\mathrm{det}(C_1.C_2,...,k\cdot C_i,,,C_n)=k\cdot\mathrm{det}(C_1,C_2,...,C_i,,,C_n)

Esta propiedad permite extraer fuera del determinante los factores comunes a todos los elementos de una fila o columna.

Ejemplo 

\,\begin{vmatrix}7\cdot 1 & 7\cdot 2 & 7\cdot 3\\ 1 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=7\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=7(-3)=-21

Propiedad 3

Si los elementos de una linea de una matriz se pueden descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las lineas excepto dicha linea cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes
\,\mathrm{det}(F_1+F'_1,F_2,F_3)=\mathrm{det}(F_1,F_2,F_3)+\mathrm{det}(F'_1,F_2,F_3)

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1+2 & 2+4 & 3+6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 6 & 9\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=21

\,\begin{vmatrix}1+2 & 2+4 & 3+6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=21

 

\,E

Propiedad 4

El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinante de ambas matrices
\,\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A)\cdot \mathrm{det}(B)

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1+2 & 2+4 & 3+6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 6 & 9\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=21

\,\begin{vmatrix}1+2 & 2+4 & 3+6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5\\ 7 & 4 & 8\end{vmatrix}=21

Propiedad 5

Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo
\,\mathrm{det}(F_1,F_2,F_3)=-\mathrm{det}(F_2,F_1,F_3 )

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:4&5&6\\ \:7&8&9\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}4&5&6\\ \:1&2&3\\ \:7&8&9\end{vmatrix}

Propiedad 6

Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna con todos los elementos nulos, su determinante es cero
\,\mathrm{det}(F_1,F_2,F_3)=0

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:4&5&6\\ \:0&0&0\end{vmatrix}=0

Propiedad 7

Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero
\,\mathrm{det}(F_1,F_1,F_3)=0

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:1&2&3\\ \:1&5&1\end{vmatrix}=0

Propiedad 8

Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante es cero
\,\mathrm{det}(F_1,kF_1,F_3)=0

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:2&5&6\\ \:1&5&1\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:1&2&3\\ \:1&5&1\end{vmatrix}=0

Propiedad 9

Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes, su determinante es cero
\,\mathrm{det}(F_1,F_2,aF_1 +bF_1)=0

Ejemplo

\,\begin{vmatrix}1&2&3\\ \:4&5&6\\ \:7&8&9\end{vmatrix}=0

\,(F_3=2F_2-F_1)

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