Diagonalizacion de formas cuadraticas ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos de diagonalizacion de formas cuadraticas

Ejercicio 1

Diagonalizar la forma cuadrática \mathbf{Q}=x^2+y^2-2xz+2yz , calculando una base ortonormal de diagonalización y la expresión de \mathbf{Q} en el nuevo sistema de coordenadas que esta base define.

Calcular la matriz de la métrica

G=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&\\ 0 & 1 & 1&\\ -1 & 1 & 0& \end{pmatrix}

Diagonalizar la matriz G

Calculamos el polinomio característico y obtenemos los valores propios

 \left \{ -1,1,2 \right \}

Obtenemos la forma diagonal

D=\begin{pmatrix} -1& 0& 0&\\ 0& 1& 0&\\ 0& 0& 2& \end{pmatrix}

Con esto valores propios obtenemos la base de vectores propios (calculando los diferentes nucleos con los valores propios) \left \{ v_1=(1,-1,2), v_2=(1,1,0), v_3=(-1,1,1)\right \}

Calculamos ahora la base ortonormal de diagonalizacion (dividiendo cada vector por su modulo)

\left \{ u_1=\frac{v_1}{\sqrt{6}},u_2=\frac{v_2}{\sqrt{6}},u_3=\frac{v_3}{\sqrt{6}} \right \}

Por lo tanto la matriz de cambio de base es :

B=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{3}} &\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}} &\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}&\\ \end{pmatrix}

Calculamos la expresión de \mathbf{Q} en el nuevo sistema de coordenadas \left \{ X,Y,Z \right \}

Q(X,Y,Z)=(-X^2+Y^2+2Z^2)

\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z \end{pmatrix}=B^{-1}

Por lo tanto

\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X=\frac{1}{\sqrt{6})}(x-y+2z)\\ Y=\frac{1}{\sqrt{2})}(x+y)\\ Z=\frac{1}{\sqrt{3})}(-x+y+z) \end{pmatrix}

Ejercicio 2

Clasificar segun los valor del parametro real a la siguiente forma cuadratica

Q(x,y,z)=2x^2+ay^2+2axz+2z^2

Calculamos la matriz asociada a la forma cuadratica

G=\begin{pmatrix} 2& 0& a&\\ 0& a& 0&\\ a& 0& 2& \end{pmatrix}

Calculamos el poliminomio caracteristico para obtener asi los valores propios

\left | xI-G \right |=\begin{vmatrix} x-2& 0& -a&\\ 0& x-a& 0&\\ -a& 0& x-2& \end{vmatrix}

\left | xI-G \right |=(x-a)\left [ (x-(2+a) \right ]\left [ (x-(2-a) \right ]

Valores propios=\left \{ a,2+a,2-a \right \}

Si a< -2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=1,r_-=2\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& -1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}

Si a= -2\rightarrow \left [r_1=0,r_+=1,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_2=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}

Si -2< a< 0\rightarrow \left [r_0=0,r_+=2,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& -1& \end{pmatrix}

Si a=0\rightarrow \left [r_1=0,r_+=2,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}

Si 0< a< 2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=3,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}

Si a=2\rightarrow \left [r_0=1,r_+=2,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}

Si a> 2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=2,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& -1& \end{pmatrix}

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