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Una vez vista la suma y la resta de números complejos, pasamos a ver la multiplicación o el producto de números complejos
Multiplicación producto de números complejos en forma binómica ¿que es?. Definición
¿Como multiplicar números complejos ?
La multiplicación o el producto de números complejos se realiza mediante la aplicación de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta la relación i^2=-1 .
Formula
Sean los números complejos en forma binomica z_1=a+bi y z_2=c+di , la formula para la multiplicación aplicando la relación anterior y la propiedad distributiva es la siguiente:
| \mathbf{(a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i} |
Propiedades
Las propiedades del producto o multiplicación de números complejos coinciden con las propiedades en números reales:
- El producto es asociativo
- El producto es conmutativo
- El producto es distributivo respecto de la suma
- El complejo 1 es el elemento nuetro del producto
- El inverso del producto es i^2=-1
Multiplicación producto de números complejos en forma polar
La multiplicación de números complejos en forma polar da lugar a otro nuevo numero complejo cuyo modulo es el producto de los módulos y su argumento la suma de los argumentos.
Formula
Sean los números complejos en forma polar z_1=\left | z_1 \right |_\alpha y z_2=\left | z_2 \right |_\beta
| \mathbf{(\left | z_1 \right |\cdot \left | z_2 \right |)_{\alpha +\beta}} |
Ejemplos resueltos de multiplicación de números complejos
Ejemplo 1. Dados los siguientes números complejos en forma binomica z_1=3-2i y z_2=5+8i . Calcula z_1\cdot z_2 .
z_1\cdot z_2 = (3-2i)\cdot (5+8i)=3\cdot 5 -(-2)\cdot 8 + [3\cdot 8 +(-2)\cdot 5]i=
=31+14i
Ejemplo 2. Calculamos la siguiente multiplicación \left(7+i\right)\left(5+2i\right)
\left(7+i\right)\left(5+2i\right)=\left(7\cdot \:5-1\cdot \:2\right)+\left(7\cdot \:2+1\cdot \:5\right)i
=33+19i
Ejercicios resueltos de multiplicación de números complejos paso a paso
Recopilación de ejercicios resueltos de la multiplicación de números complejos
Ejercicio 1. Dado z_1=2i , z_2=1+4i y z_3=2+4i . Calcular z_1\cdot z_2 , z_1\cdot z_3 y z_2\cdot z_3
- z_1\cdot z_2 =-2\cdot \:4+2\cdot \:1i=-8+2i
- z_1\cdot z_3=-2\cdot \:4+2\cdot \:2i=-8+4i
- z_2\cdot z_3=\left(1\cdot \:2-4\cdot \:4\right)+\left(1\cdot \:4+4\cdot \:2\right)i=-14+12i
Ejercicio 2. Dado z_1=i , z_2=3+i y z_3=2+8i . Calcular z_1\cdot z_2 , z_1\cdot z_3 y z_2\cdot z_3
- z_1\cdot z_2=-1\cdot \:1+1\cdot \:3i=-1+3i
- z_1\cdot z_3=-1\cdot \:8+1\cdot \:2i=-8+2i
- z_2\cdot z_3=\left(3\cdot \:2-1\cdot \:8\right)+\left(3\cdot \:8+1\cdot \:2\right)i=-2+26i