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Visto la suma , resta y producto de números complejos, pasamos a la división o ciente de números complejos tanto en forma polar como en forma binomica
División o cociente de números complejos en forma binómica ¿que es?. Definición
¿Como resolver la división de números complejos en forma binomica?
El cociente o la división de números complejos se basa en la racionalización del denominador, es decir, multiplicamos el numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.
Formula en forma binomica
| \mathbf{\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i} |
División o cociente de números complejos en forma polar
La división o ciente de números complejos da lugar a otro numero complejo cuyo modulo es el cociente de los módulos y el argumento es la resta de los argumentos.
Formula en polar
Sean los números complejos en forma polar z_1=\left | z_1 \right |_\alpha y z_2=\left | z_2 \right |_\beta
| \mathbf{\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\left | z_1 \right |_\alpha}{\left | z_2 \right |_\beta}=\left (\dfrac{\left | z_1 \right |}{\left | z_2 \right |} \right )_{\alpha -\beta}} |
Ejemplos resueltos de división de números complejos
Ejemplo 1. Dados los siguientes números complejos en forma binomica z_1=3-5i y z_2=4-3i . Calcula \dfrac{z_1}{z_2} .
\dfrac{3-5i}{4-3i}=\dfrac{\left(3\cdot \:4+\left(-5\right)\left(-3\right)\right)+\left(-5\cdot \:4-3\left(-3\right)\right)i}{4^2+\left(-3\right)^2}
=\dfrac{27-11i}{25}
Ejemplo 2. Calculamos la siguiente division \dfrac{5i}{\left(2-i\right)}
\dfrac{5i}{2-i} =\dfrac{5i\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}
=\dfrac{-5+10i}{5}
División de números complejos ejercicios resueltos paso a paso
Recopilación de ejercicios resueltos de la división de números complejos
Ejercicio 1. Dado z_1=2i , z_2=1+4i y z_3=2+4i . Calcular \dfrac{z_1}{ z_2} , \dfrac{z_1}{ z_3} y \dfrac{z_2}{ z_3}
Siguiendo los paso indicados de multiplicar y dividir por el conjugado del denominador obtenemos:
- \dfrac{z_1}{ z_2}=\dfrac{2i\left(1-4i\right)}{\left(1+4i\right)\left(1-4i\right)}=\dfrac{8}{17}+\dfrac{2}{17}i
- \dfrac{z_1}{ z_3}=\dfrac{i\left(1-2i\right)}{\left(1+2i\right)\left(1-2i\right)}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i
- \dfrac{z_2}{ z_3}=\dfrac{\left(1\cdot \:2+4\cdot \:4\right)+\left(4\cdot \:2-1\cdot \:4\right)i}{2^2+4^2}=\dfrac{9}{10}+\dfrac{1}{5}i