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Estudio de las integrales trigonométricas y sus diferentes casos. Integrales trigonométricas inmediatas explicadas detalladamente ( formulas directas ) y también las trigonométricas inversas. Al final se verán una serie de ejercicios y ejemplos resueltos
Integrales trigonométricas inmediatas o directas con formulas y tabla de los diferentes casos
En primer lugar para poder resolver cualquier integral de una función trigonométrica tenemos que saber las formulas de las integrales trigonométricas inmediatas o directas
Integral de la función seno
La integral inmediata de la función seno es la siguiente:
\int \mathrm{cos}x\, dx=- \mathrm{sen}x + C
\int\, f' \cos f\, dx= \mathrm{sen}f + C
Integral de la función coseno
La integral inmediata de la función coseno es la siguiente:
\int \mathrm{sen}x\, dx=- \mathrm{sen}x + C
\int\, f' \mathrm{sen}f\, dx= \mathrm{cos}f + C
Integral de la función tangente
La integral inmediata de la función tangente es la siguiente:
\int \dfrac{1}{cos^2x}\, dx= tgx + C
\int \dfrac{f'}{cos^2f}\, dx= tgf + C
\int \left ( 1+tg^2x \right )dx= tg x + C
\int f'\left ( 1+tg^2f \right )dx= tg f + C
\int sec^2x\, dx= tg x + C
\int f'sec^2f\, dx= tg f + C
Integral de la función cotangente
La integral inmediata de la función cotangente es la siguiente:
\int \dfrac{1}{sen^2x}dx= -cotg x + C
\int \dfrac{f'}{sen^2f}dx= -cotg f + C
\int cosec^2x\, dx= -cotg x + C
\int f'cosec^2f\, dx= -cotg f + C
\int\left ( 1 + cotg^2x \right ) dx= -cotg x + C
\int f' \left ( 1 + cotg^2f \right ) dx= -cotg f + C
Integrales trigonométricas inversas formulas y ejercicios resueltos paso a paso
Integral de la función trigonométrica inversa arcoseno
La integral inmediata de la función trigonométrica inversa arcoseno:
\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arcosen x + C
\int \dfrac{f'}{\sqrt{1-f^2}} dx = arcosen f + C
Integral de la función trigonométrica inversa arctangente
Integral directa o inmediata de la función trigonométrica inversa arcotangente:
\int \dfrac{1}{1+x^2}\, dx = arctg x + C
\int \dfrac{f'}{1 + f^2}\, dx = arctg f + C
Integrales trigonométricas inversas ejercicios resueltos paso a paso
Ejercicio 1 : Calcular las siguientes integrales trigonométricas inversas (arcoseno)
1.\int \dfrac{x}{\sqrt{1-4x^4}}\, dx
Solución de la integral trigonometrica
=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{4x}{\sqrt{1-(2x^2)^2}}\, dx = \dfrac{1}{4} arcsen(2x^2) + C
2.\int \dfrac{5}{\sqrt{25-x^2}}\, dx
Solución de la integral
Buscamos la forma de la integral inmediata de la función arcoseno
= 5\int\dfrac{1}{\sqrt{25 - x^2}}\, dx =
=5\dfrac{1}{5}\int\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{25-x^2}{25}}} dx =
= \int\dfrac{1}{\sqrt{1 - (\dfrac{x}{5})^2}}\, dx =
= 5\int\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\sqrt{1 - (\dfrac{x}{5})^2}}\, dx =
= 5\arcsin \left(\frac{1}{5}x\right)+C
Por tanto:
2.\int \dfrac{5}{\sqrt{25-x^2}}\, dx= 5\arcsin \left(\dfrac{1}{5}x\right)+C
Ejercicio 2 : Calcular las siguientes integrales trigonométricas inversas (arctangente)
1.\int \dfrac{1}{x\left(1+ln^2x\right)}\:dx
Solución de la integral trigonométrica inversa
=\int \dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+ln^2x}\:dx= \arctan \left(\ln \left(x\right)\right)+C
Ejercicios de integrales trigonométricas resueltas paso a paso
Integración de potencias trigonométricas
Para resolver este tipo de integrales trigonométricas tendremos que tener en cuenta la formula fundamental de la trigonométrica y las formulas de las integrales inmediatas o directas trigonométricas
sen^2x+cos^2x=1
Integral del seno al cubo
\int sen^3x\:dx=
=\int senx\:\cdot sen^2x\:dx=
=\int senx\:\cdot \left(1-cos^2x\right)\:dx=
=\int senx\:dx+\int -senx\:cos^2x\:dx=
=-\cos \left(x\right)+\dfrac{\cos ^3\left(x\right)}{3}+C
Integral del coseno a la quinta
\int \cos^5x\:dx=
=\int \left(\cos ^2\left(x\right)\right)^2\cos \left(x\right)dx=
=\int \left(1-\sin ^2\left(x\right)\right)^2\cos \left(x\right)dx=
=\int \cos xdx+\int \sin^4x \cos xdx=
=\int 2\cdot \sin^2x \cos x dx=
=\sin \left(x\right)-\dfrac{2\sin ^3\left(x\right)}{3}+\dfrac{\sin ^5\left(x\right)}{5}+C
Para el caso de que las potencias sean pares , usaremos estas relaciones trigonométricas.
sen^2x+cos^2x=1
\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right)=\cos \left(2x\right)
Operando obtenemos:
\cos ^2\left(x\right)=\dfrac{1+\cos \left(2x\right)}{2}
\sin ^2\left(x\right)=\dfrac{1-\cos \left(2x\right)}{2}
Integral del coseno cuadrado
\int \cos ^2\left(x\right)dx=
=\int \dfrac{1+\cos \left(2x\right)}{2}dx=
=\dfrac{1}{2}\left(\int \:1dx+\int \cos \left(2x\right)dx\right)=
=\dfrac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin \left(2x\right)\right)+C