▷【 INTEGRALES DEFINIDAS 】Ejercicios | Propiedades

¿Que son las integrales definidas ? Definición

Definición: Sea $f(x)$ una función continua y acotada en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Se llama integral definida de $f(x)$ en $[a,b]$ y se denomina como $\int_{a}^{b}f(x)$ a un numero real que geográficamente es el area que queda encerrado bajo la curva que forma $f(x)$ con el eje $OX$ y la rectas $x=a$ y $x=b$ .

Formula para la integral definida

$\int_{a}^{b}f(x)dx$

Limite inferior de la integración : $a$
Limite superior de la integración : $b$

Propiedades de las integrales definidas [pdf]

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

Si $f(x)\geq 0$ en $\left [ a,b \right ]$ -> $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0$

Si $f(x)\leq 0$ en $\left [ a,b \right ]$ -> $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq 0$

Si $c\in \left [ a,b \right ]$ -> $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

Si $f(x)\leq g(x)$ en $\left [ a,b \right ]$ -> $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx$

$\int_{a}^{a}\left [ f(x)\pm g(x ) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\int_{a}^{a}k\cdot f(x)dx=k\cdot\int_{a}^{a}f(x)dx$

¿Como resolver las integrales definidas paso a paso? Métodos de resolución

Regla de Barrow

Newton descubrió un método sencillo para la resolución de las integrales definidas dando lugar a la regla de Barrow o el primer teorema fundamental del calculo

Sea $f(x)$ una funcion continua en $[a,b]$ y sea $F(x)$ una primitiva de $f(x)$ . Entonces:

F(x)

es una primitiva de

f(x)

F'(x)

f(x)

Teorema del valor medio

Otro método para el calculo de integrales definidas es el teorema del valor medio:

Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Entonces existe $c\in (a,b)$ tal que

Teorema fundamental del calculo integral

Sea Sea $f(x)$ una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y sea $F(x)$ una función integral que para todo $x$ del intervalo $[a,b]$ se define $F(x)=\int_{a}^{b}f(t)dt$ . Entonces $F(x)$ es derivable y $F'(x)=f(x)$

Áreas bajo una curva. Integrales definidas

Una única curva o función

El procedimiento para determinar el área que queda encerrada bajo una curva ( una función ) y el eje $OX$ en un determinado intervalo $[a,b]$ tenemos que calcular los puntos de corte de la función y el eje $OX$ y estudiar el signo de la función en dicho intervalo.

Varias curvas o funciones

Para determinar el área encerrada por dos curvas y el eje $OX$ en un intervalo cerrado $[a,b]$ primero calcular los puntos de corte con dicho eje en el intervalo. Una vez hallado dichos puntos tenemos que estudiar en cada tramo que función queda por encima y cual por debajo de la otra.

Integrales definidas ejercicios resueltos paso a paso online [ PDF ] para bachillerato

Calcular las siguientes integrales definidas paso a paso mediante la regla de Barrow

Realizamos la integral del termino de dentro y seguimos la regla de Barrow

$=\left [ \dfrac{x^4}{4}+x \right ]_{-2}^{2}=$

$=(\dfrac{2^4}{4}+2)-\dfrac{(-2)^4}{4}-2 =$

$6-2=4$

$\int _0^2sen\left(x\right)dx=$

Calculamos la integral del teermino de dentro ( en este caso el seno de x ) y continuamos con la regla de Barrow

$=\left [ -\cos (x) \right ]_{0}^{2}=$

$=(-\cos(2)--\cos(0)) =$

$-cos(2)+1$

$\int _0^0cos\left(x\right)dx=$

Por la propiedad $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$ , el resultado de esta integral definida es 0