INTEGRALES DEFINIDAS | Con ejercicios resueltos y propiedades || Online | PDF

¿Que son las integrales definidas ? Definición

Definición: Sea f(x) una función continua y acotada en un intervalo cerrado [a,b]. Se llama integral definida de f(x) en [a,b] y se denomina como \int_{a}^{b}f(x) a un numero real que geográficamente es el area que queda encerrado bajo la curva que formaf(x) con el eje OX y la rectas x=ax=b.

Formula para la integral definida

\int_{a}^{b}f(x)dx

  • Limite inferior de la integración : a
  • Limite superior de la integración : b

 

Propiedades de las integrales definidas [pdf]

 

  • \int_{a}^{a}f(x)dx=0

 

  • \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx

 

  • Si f(x)\geq 0 en \left [ a,b \right ] -> \int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0

 

  • Si f(x)\leq 0 en \left [ a,b \right ] -> \int_{a}^{b}f(x)dx\leq 0

 

  • Si  c\in \left [ a,b \right ] ->\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx

 

  • Si f(x)\leq g(x) en \left [ a,b \right ] -> \int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx

 

  • \int_{a}^{a}\left [ f(x)\pm g(x ) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx

 

  • \int_{a}^{a}k\cdot f(x)dx=k\cdot\int_{a}^{a}f(x)dx

 

¿Como resolver las integrales definidas paso a paso? Métodos de resolución

Regla de Barrow 

Newton descubrió un método sencillo para la resolución de las integrales definidas dando lugar a la regla de Barrow o el primer teorema fundamental del calculo

Sea f(x) una funcion continua en [a,b] y sea F(x) una primitiva de f(x). Entonces:

Regla de Barrow
Regla de Barrow
 F(x) es una primitiva de f(x) si  F'(x) = f(x)

Teorema del valor medio

Otro método para el calculo de integrales definidas es el teorema del valor medio:

Sea f(x)  una función continua en un intervalo cerrado [a,b]. Entonces existe c\in (a,b) tal que

Integrales definidas
Teorema del valor medio

Teorema fundamental del calculo integral

Sea Sea f(x)  una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y sea F(x)  una función integral que para todo x del intervalo [a,b] se define F(x)=\int_{a}^{b}f(t)dt. Entonces F(x) es derivable y F'(x)=f(x)

 

Áreas bajo una curva. Integrales definidas

Una única curva o función

El procedimiento para determinar el área que queda encerrada bajo una curva ( una función ) y el eje OX en un determinado intervalo [a,b] tenemos que calcular los puntos de corte de la función y el eje OX y estudiar el signo de la función en dicho intervalo.

Varias curvas o funciones

Para determinar el área encerrada por dos curvas y el eje OX en un intervalo cerrado [a,b]  primero calcular los puntos de corte con dicho eje en el intervalo. Una vez hallado dichos puntos tenemos que estudiar en cada tramo que función queda por encima y cual por debajo de la otra.

 

Integrales definidas ejercicios resueltos paso a paso online [ PDF ] para bachillerato

Calcular las siguientes integrales definidas paso a paso mediante la regla de Barrow

Ejercicio resuelto paso a paso de integral definida

Realizamos la integral del termino de dentro y seguimos la regla de Barrow

=\left [ \dfrac{x^4}{4}+x \right ]_{-2}^{2}=

=(\dfrac{2^4}{4}+2)-\dfrac{(-2)^4}{4}-2 =

6-2=4


\int _0^2sen\left(x\right)dx=

Calculamos la integral del teermino de dentro ( en este caso el seno de x ) y continuamos con la regla de Barrow

=\left [ -\cos (x) \right ]_{0}^{2}=

=(-\cos(2)--\cos(0)) =

-cos(2)+1


\int _0^0cos\left(x\right)dx=

Por la propiedad \int_{a}^{a}f(x)dx=0 , el resultado de esta integral definida es 0