▷【 INTEGRALES POR PARTES 】Ejercicios y ejemplos

Existen varios métodos para el calculo de integrales. Uno de los mas útiles y sencillos es el método de integración por partes. Aqui veremos que es la integración por partes y su formula para su uso, seguido de una recopilacion de ejemplos y ejercicios resueltos. Antes de comenzar con el estudio de las integrales por partes es recomendable el repaso de las integrales trigonométricas

¿Que es la integración por partes? Definición

El método de resolución de integrales por partes es un método basado en la formula de integración por partes

Formula del método de integración por partes

Para aplicar el método de integrales por partes usaremos la formula de la integración por partes

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du$

$u$ es una funcion y $du$ su derivada
$v$ es una funcion y $dv$ su derivada

La dificultad de esta integración reside en la correcta elección de que las funciones $u$ y $v$ . Para ello usaremos una regla de orden de elección conocida como

LIATE:

L- Logarítmicas
I- Inversas
A- Algebraicas
T- Trigonométricas
E- Exponenciales

Por lo tanto, eligiéremos la función $u$ por orden de preferencia empezando por las funciones logarítmicas.

¿Cuando usamos la integración por partes?

Las integrales se resuelven por este método generalmente cuando nos encontramos con un producto de funciones.

¿Como resolver las integrales por partes?

Ahora, ¿como integrar por partes? Sigamos los siguientes pasos:

Eligir la función $u$
Calcular su derivada $du$
Calcular la función $v$ a partir de $dv$
Aplicar la formula de integración por partes

Ejemplos y ejercicios resueltos de integrales por partes (resueltas)

Recopilación de ejercicios y ejemplos resueltos de integrales mediante el método de la integración por partes.

Ejercicio 1

$\int \:x\cdot \:2^xdx$

La funcion $u$ es $\:x$
La derivada de $v$ $dv$ es $\:2^xdx$
Calculamos $du$ derivando , $du=dx$
Calculamos $v$ integrando $dv$ , $v=\dfrac{2^x}{\ln \left(2\right)}$
Sustituimos en la formula y obtenemos

$\int \:x\cdot \:2^xdx=\dfrac{2^xx}{\ln \left(2\right)}-\int \dfrac{2^x}{\ln \left(2\right)}dx$

Resolvemos la integral sencilla

$\int \dfrac{2^x}{\ln \left(2\right)}dx$

$\int \dfrac{2^x}{\ln \left(2\right)}dx=\dfrac{1}{\ln \left(2\right)}\cdot \int \:2^xdx=\dfrac{2^x}{\ln ^2\left(2\right)}$

Sustituimos otra vez en la formula de integración y obtenemos

$\int \:x\cdot \:2^xdx=\frac{2^xx}{\ln \left(2\right)}-\frac{2^x}{\ln ^2\left(2\right)}+C$

Ejercicio 2

$\int \ln \left(x\right)dx$

La funcion $u$ es $\ln \left(x\right)$
La derivada de $v$ $dv$ es $dx$
Calculamos $du$ derivando , $du=\dfrac{1}{x}dx$
Calculamos $v$ integrando $dv$ , $v=x$
Sustituimos en la formula y obtenemos

$\int \ln \left(x\right)dx=x\ln \left(x\right)-\int \:1dx$

$=x\ln \left(x\right)-x+C$

Programas o calculadoras para resolver integrales por partes

En diferentes ámbitos, ya sean académicos o laborales, necesitamos un programa o calculadora para resolver integrales de una manera rápida.

Unas de las opciones es el uso de webs como symbolab, que permiten realizar el calculo de integrales por partes online.

Otra opción es descargar un programa como Mathematica.