ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO || EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Las ecuaciones de segundo grado son un tipo de ecuaciones muy importantes con usos y aplicaciones en el día a día que se cursan en 2 y 3 de la eso. Aquí explicamos los tipos y que son y como resolver las diferentes ecuaciones. También dejamos una recopilación con ejemplos , y problemas y  ejercicios resuelto paso a paso.

¿Que son las ecuaciones de segundo grado con una incógnita? Definición

Una ecuación de segundo grado es aquella en la que el exponente máximo de la incógnita es 2. Esta ecuaciones solamente tienen una incógnita, y es \mathrm{x}

Formula general de una ecuación de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado pueden expresarse de la forma general

\mathrm{ax^2+bx+c=0}
  • Los términos \mathrm{a},\mathrm{b}\mathrm{c} se conocen como conocen como coeficientes.
  • El termino\mathrm{c} se llama termino independiente.

¿Cuales son las soluciones de una ecuación de segundo grado?

Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de \mathrm{x} que siendo sustituidos hacen cero la ecuación.

Ejemplo cotidiano con aplicación de una ecuación de segundo grado

Luis dibuja un rectángulo cuya base mide 10 centímetros mas que la altura. ¿Que ecuación debe satisfacer la altura \mathrm{x}  si el área del rectángulo son 200 centímetros cuadrados?

Distinguimos :

  • Altura = \mathrm{x}
  • Base = \mathrm{10+x}
  • Area = base por altura = \mathrm{10+x}\cdot\mathrm{x}=200

Operando la ecuacion del area obtenemos la ecuacion de segundo grado pedida

 \mathrm{10+x}\cdot\mathrm{x}=200=\mathrm{x^2+10x-200=0}

¿Por que es una ecuación de segundo grado? Por que su maximo exponente es 2

Tipos de ecuaciones de segundo grado

Hay dos tipos de ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado completas

\mathrm{ax^2+bx+c=0} \mathrm{a\neq 0} 

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Son aquellas en las que faltan algún termino.

Libros de ecuaciones de segundo grado

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Ecuaciones de segundo grado incompletas con ejercicios resueltos

Como hemos visto antes , las ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que es cero alguno de sus coeficientes.

Formulas

\mathrm{ax^2+bx=0} 
\mathrm{ax^2+c=0} 
\mathrm{ax^2=0}  

¿Como resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas?

Dependiendo de si falta un coeficiente u otro se pueden calcular de una manera o de otra.

Ecuaciones incompletas en las que falta b

Son del tipo

 \mathrm{ax^2+c=0}

Resolución paso a paso:

  • Despejamos \mathrm{x^2}.
  • Calculamos su raíz cuadrada.
Ejemplo

Resolver la ecuación  \mathrm{5x^2-180=0}

  • Dividimos ambos terminos por 5 \mathrm{x^2-36=0}
  • Despejamos \mathrm{x^2}\mathrm{x^2=-36}
  • Calculamos la raíz cuadrada  \mathrm{x=-6} ,\mathrm{x=6}

Ecuaciones incompletas en las que falta c (Por factorizaion)

Son del tipo

 \mathrm{ax^2+bx=0}

Resolución paso a paso:

  • Factorizamos la ecuación
  • Igualamos cada factor a 0
  • Resolvemos la ecuación de primer grado
Ejemplo

Resuelve la ecuación \mathrm{3x^2+27x=0}

  • Sacamos factor comun  \mathrm{3x(x+9)=0}
  • Igualamos a cero cada factor, \mathrm{3x=0}  y \mathrm{x+9=0}
  • Resolvemos las ecuaciones \mathrm{x=0}\mathrm{x=-9}

Ecuaciones incompletas en las que falta b y c

Son del tipo

 \mathrm{ax^2=0}

Resolución paso a paso:

  • La solución siempre es  \mathrm{x=0}
Ejemplo

Resuelve la ecuación \mathrm{3x^2=0}

  • \mathrm{x=0}

Ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones de segundo grado incompletas

Ejercicio 1. Resuelve la siguiente ecuación \mathrm{5x^2-20=0}.

  • Despejemos \mathrm{x^2}, por lo tanto, \mathrm{5x^2=20}.
  • Dividimos entre 5, por lo tanto, \mathrm{x^2=4}.
  • Calculamos la raiz cuadrada\mathrm{x=2}\mathrm{x=-2}.

Ejercicio 2. Resuelve la siguiente ecuación \mathrm{x^2-6x=0}.

  • Sacamos factor comun : \mathrm{x(x-6)=0}
  • Igualamos a cero ambos factores
  • Resolvemos las ecuaciones \mathrm{x=0} y  \mathrm{x=6}
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Ecuaciones de segundo grado completas con ejercicios resueltos

Como vimos antes, las ecuaciones de segundo grado completas son aquellas en las que ninguno de sus coeficientes es cero

Formula de las ecuaciones de segundo grado completas

\mathrm{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}},   \mathrm{x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}} 

¿Como resolver ecuaciones de segundo grado completas?

Las dos soluciones de las ecuaciones de segundo grado son:

Tipos de soluciones

Analizando el termino \mathrm{b^2-4ac}, podemos ver el numero de soluciones

  • Si \mathrm{b^2-4ac> 0}, la ecuacion tiene dos soluciones
  • Si \mathrm{b^2-4ac< 0}, la ecuacion no tiene solución
  • Si \mathrm{b^2-4ac= 0}, la ecuacion tiene una única solución

Ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones de segundo grado completas

Ejercicio 1. Resuelve la siguiente ecuación \mathrm{-x^2+5x-6=0}.

Aplicando la formula obtenemos:

\mathrm{x=\dfrac{-5\pm \sqrt{25-24}}{-2}}.

Donde, resolviendo obtenemos dos soluciones

\mathrm{x=\dfrac{-5+1}{-2}}=3.

\mathrm{x=\dfrac{-5-1}{-2}}=2.



10 Ejercicios resueltos y ejemplos de ecuaciones de segundo grado paso por paso [ 2 y 3 ESO ]

Recopilación con ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado tanto completas como incompletas para practicar. (Nivel recomendado=alumnos de la ESO)

Ejercicio 1: Resuelve la siguientes ecuaciones 

a)\mathrm{2x^2-8=0}

b)\mathrm{x^2-x=0}

Solución

a)\mathrm{2x^2-8=0}

  • Dividimos entre dos : \mathrm{x^2-4=0}
  • Calculamos la raiz : \mathrm{x=2}\mathrm{x=-2}

b)\mathrm{x^2-x=0}

  • Sacamos factor comun:  \mathrm{x(x-1)=0}
  • Resolvemos las ecuaciones \mathrm{x=0}\mathrm{x=1}

Ejercicio 2: Resuelve la siguientes ecuaciones 

a)\mathrm{x^2+7x+10=0}

b)\mathrm{x^2+3x-28=0}

Solución

a)\mathrm{x^2+7x+10=0}

Aplicando la formula general de ecuaciones de segundo grado obtenemos:

\mathrm{x=\dfrac{-7+\sqrt{7^2-4\cdot \:1\cdot \:10}}{2\cdot \:1}=-2}

\mathrm{x=\dfrac{-7-\sqrt{7^2-4\cdot \:1\cdot \:10}}{2\cdot \:1}=-5}

b)\mathrm{x^2+3x-28=0}

Aplicando la formula general de ecuaciones de segundo grado obtenemos:

\mathrm{x=\dfrac{-3+\sqrt{3^2+4\cdot \:1\cdot \:28}}{2\cdot \:1}=4}

\mathrm{x=\dfrac{-3-\sqrt{3^2+4\cdot \:1\cdot \:28}}{2\cdot \:1}=-7}



10 Problemas resueltos  de ecuaciones de segundo grado paso por paso [ 2 y 3 ESO ]

Recopilación con problemas resueltos y aplicaciones del día a día de ecuaciones de segundo grado.

Problema 1: Una solución de la ecuación de segundo grado \mathrm{x^2+bx+36=0} es \mathrm{x=3}.

a)¿Cuanto vale b?

b)¿Para dicho valor la ecuación tiene alguna solución mas?

Solución

a)Si \mathrm{x=3} es una solución de la ecuación, sustituyendo , obtenemos el valor de b

\mathrm{3^2+b3+36=0}

\mathrm{3b=-45}

\mathrm{b=-15}

b) Si \mathrm{b=-15}, la ecuación queda \mathrm{x^2-15x+36=0} , cuyas soluciones son \mathrm{x=12}\mathrm{x=3}


Problema 2: Resuelve la siguiente ecuación \mathrm{3x^2-10=88+x^2}

Solución:

  • Se suma 10 a ambos miembros: \mathrm{3x^2=98+x^2}
  • Se resta \mathrm{x^2}  a ambos miembros \mathrm{2x^2=98}
  • Se divide entre dos ambos miembros \mathrm{x^2=49}
  • Se calculan las raíces \mathrm{x=7}  y  \mathrm{x=-7}