Teorema de Taylor

 

Vamos a formalizar la afirmación de que conocida el valor de una función \,y=f(x) y de sus derivadas en un punto \,x_{0}, podemos conocer el valor de la funcion en puntos próximos a \,x_{0}

Teorema de Taylor. Si \,f\in C^{\infty}(\mathbb{R}), entonces:

Teorema de Taylor formula

\,f(x)=f(x_0)+\dfrac{1}{1!}f{}'(x_0)(x-x_{0})+\dfrac{1}{2!}f{}''(x_0)(x-x_{0})^{2}+...

\,...+\dfrac{1}{n!}f^{n}(x_0)(x-x_{0})^{n}

Teorema de Taylor ejemplos resueltos

Ejemplos de series de Taylor, entorno a \,x_{0}=0:

\,(a+x)^2=a^2+2ax+x^2

\,e^x=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+...

\,\sin x=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+...

 Teorema de Taylor ejercicios resueltos

En el entorno del origen, aproxime la función \,f(x)=e^{x^{2}} por un polinomio de quinto grado

Aplicamos el teorema de Taylor:

\,\begin{matrix}f(0)=1 & f'(x)=2xe^{x^{2}} & f'(0)=0\\ & f''(x)=(2+4x)e^{x^{2}} & f''(0)=12\\ & f^{'3}(x)=(12x+8x^{3})e^{x^{2}} & f^{'3}(0)=0\\ & f^{'4}(x)=(12+48x^{2}+16x^{4})e^{x^{2}} & f^{'4}(0)=12\end{matrix}

Dado que la funcion es par, los terminos impares son nulos. Asi que el coeficiente del termino 5º grado sera nulo y nos basta calcular hasta el 4º grado. En consecuencia:

\,f(x)=f(0)+\dfrac{1}{1!}f{}'(0)x+\dfrac{1}{2!}f{}''(0)x^{2}+\dfrac{1}{3!}f^{'3}(0)x^{3}+\dfrac{1}{4!}f^{'4}(0)x^{4}+...\Rightarrow

\,\Rightarrow e^2\approx 1+x^2+\dfrac{1}{2}x^4

es una aproximación hasta \,O(5).

Representacion grafica de las funciones \,y=e^{x} y \,f(x)=e^{x^{2}} y sus aproximaciones de Taylor en el
entorno del origen.