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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN con derivadas de funciones resueltos . Máximos y minimos | 2 º Bachillerato Selectividad | PDF

Los problemas de optimización son una serie de problemas que se resuelven mediante el calculo diferencial basico ( la derivada ). Este tipo de problemas se basan en la búsqueda de máximos y mínimos de las funciones que se obtienen.

Son una serie de problemas que se cursan en el Bachillerato ( 1º y 2º ) ( selectividad )

¿ Como resolver problemas de optimización de funciones con máximos y mínimos ?

Entendemos los problemas de optimización de funciones como la búsqueda de máximos y mínimos de una función.

Paso a seguir para la aplicación de la optimización de funciones a los problemas.

  1. Búsqueda de la función que represente el problema y el intervalo de puntos.
  2. Se busca de los puntos del intervalo donde la función no es derivable
  3. Se obtiene la derivada de la función
  4. La derivada de la función se iguala a cero y se tienen en cuenta aquella soluciones que se encuentren el intervalo
  5. Se calcula el valor de la función en los siguientes puntos:
    1. Extremos del intervalo
    2. Donde la derivada sea cero
    3. En los puntos que la función no sea derivable

 



 

Problemas resueltos de optimización de funciones | 2º Bachillerato Selectividad |

Comenzamos con una serie de problemas para practicar la búsqueda de los máximos y mínimos de una función.

Problema 1. Calculo de máximos y mínimos 

Dada la función

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3-x\: si\: x\leq 1\\ 2(x-2)^2\: si\: x>1 \end{matrix}\right.

Halla su máximo y su mínimo en el intervalo  [0,4] .


Solución problema 1:

Analizamos su la función es continua en 1.

\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=0=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)

Calculamos la derivada de la función

f'(x)=\left\{\begin{matrix} 3x^2-1\: si\: x< 1\\ 4(x-2)\: si\: x>1 \end{matrix}\right.

Igualamos la derivada y a cero y obtenemos los siguientes valores

f'(x)=0\rightarrow x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},x=2

Vemos que valores pertenecen al intervalo  [0,4]

x=\dfrac{1}{\sqrt{3}},x=2

Por ultimo calculamos el valor de la función en los siguientes puntos ( apartado 5 )

\begin{matrix} f(1)=0\\ f(\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\\ f(2)=-2\\ f(0)=0\\ f(4)=6 \end{matrix}

Analizamos los valores y obtenemos el máximo y el mínimo

  • Máximo = 6
  • Mínimo = -2


 

Problema 2 : Calculo de área máxima de un rectangulo

Encuentra el rectángulo de área máxima de todos los que están inscritos en un semicírculo de radio R que están apoyados sobre su diámetro.

Sea  \alpha el angulo formado desde el centro de la base del rectángulo hasta el vértice derecho del rectángulo que esta en contacto con el semicírculo.

Obtenemos la base , la altura y el área del rectángulo en función de ese angulo.

  • Base =  2R\cos\alpha
  • Altura =  2R\sin\alpha
  • Área =  2R^2cos\alpha \sin\alpha \:=\:R^2\sin \:2\alpha

Por tanto , la función para analizar en este problema es el área :

f(x)= R^2\sin 2\alpha

Conociendo como actúa el seno, concluimos que esta función es máxima cuando  \sin 2\alpha = 1 y por tanto el valor máximo del área es  R^2

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