【 Problemas de optimizacion resueltos 】2 Bachillerato Selectividad 2019

Los problemas de optimización son una serie de problemas que se resuelven mediante el calculo diferencial basico ( la derivada ). Este tipo de problemas se basan en la búsqueda de máximos y mínimos de las funciones que se obtienen.

Son una serie de problemas que se cursan en el Bachillerato ( 1º y 2º ) ( selectividad )

¿ Como resolver problemas de optimización de funciones con máximos y mínimos ?

Entendemos los problemas de optimización de funciones como la búsqueda de máximos y mínimos de una función.

Paso a seguir para la aplicación de la optimización de funciones a los problemas.

Búsqueda de la función que represente el problema y el intervalo de puntos.
Se busca de los puntos del intervalo donde la función no es derivable
Se obtiene la derivada de la función
La derivada de la función se iguala a cero y se tienen en cuenta aquella soluciones que se encuentren el intervalo
Se calcula el valor de la función en los siguientes puntos:
1. Extremos del intervalo
2. Donde la derivada sea cero
3. En los puntos que la función no sea derivable

Problemas resueltos de optimización de funciones | 2º Bachillerato Selectividad |

Comenzamos con una serie de problemas para practicar la búsqueda de los máximos y mínimos de una función.

Problema 1. Calculo de máximos y mínimos

Dada la función

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3-x\: si\: x\leq 1\\ 2(x-2)^2\: si\: x>1 \end{matrix}\right.$

Halla su máximo y su mínimo en el intervalo $[0,4]$ .

Solución problema 1:

Analizamos su la función es continua en 1.

$\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=0=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)$

Calculamos la derivada de la función

$f'(x)=\left\{\begin{matrix} 3x^2-1\: si\: x< 1\\ 4(x-2)\: si\: x>1 \end{matrix}\right.$

Igualamos la derivada y a cero y obtenemos los siguientes valores

$f'(x)=0\rightarrow x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},x=2$

Vemos que valores pertenecen al intervalo $[0,4]$

$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}},x=2$

Por ultimo calculamos el valor de la función en los siguientes puntos ( apartado 5 )

$\begin{matrix} f(1)=0\\ f(\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\\ f(2)=-2\\ f(0)=0\\ f(4)=6 \end{matrix}$

Analizamos los valores y obtenemos el máximo y el mínimo

Máximo = 6
Mínimo = -2

Problema 2 : Calculo de área máxima de un rectangulo

Encuentra el rectángulo de área máxima de todos los que están inscritos en un semicírculo de radio R que están apoyados sobre su diámetro.

Sea $\alpha$ el angulo formado desde el centro de la base del rectángulo hasta el vértice derecho del rectángulo que esta en contacto con el semicírculo.

Obtenemos la base , la altura y el área del rectángulo en función de ese angulo.

Base = $2R\cos\alpha$
Altura = $2R\sin\alpha$
Área = $2R^2cos\alpha \sin\alpha \:=\:R^2\sin \:2\alpha$

Por tanto , la función para analizar en este problema es el área :

$f(x)= R^2\sin 2\alpha$

Conociendo como actúa el seno, concluimos que esta función es máxima cuando $\sin 2\alpha = 1$ y por tanto el valor máximo del área es $R^2$

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