Dominio de una función (con ejercicios y ejemplos resueltos)

El dominio de una función es uno de los parámetros mas importantes y básico para el análisis y representación de funciones

¿Que es el dominio de una función? Definición

Sea una función f(x) , el conjunto de números reales para los cuales dicha es posible hallar el valor de la función se conoce como dominio, es decir, el dominio también se puede definir como el conjunto de valores para el cual la función esta definida.

¿Como calcular, obtener o sacar el dominio de una función?

Para poder hallar el dominio de una función tenemos que estudiar el tipo que función que es e imponer la definición del dominio.

A continuación, dejaremos una lista de los diferentes tipos de funciones y las diferentes formas de calcular su dominio.

Dominio de una función polinomio

Las funciones polinomicas son aquellas que se pueden expresar en forma de polinomio. Estas funciones son continuas para todo los números reales. Por lo tanto:

Dominio de una función polinomio corresponde con todos los numero reales

Se escribe

\mathrm{Dom}f(x)=\Re

 

Dominio de una función racional (con raiz recordar)

En primer lugar, recordamos que una función racional es aquella que se puede escribir como el cociente de dos funciones polinomicas.

f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}

¿Cual es el dominio de este tipo de funciones y como calcularlo?

El dominio de una funcion racional corresponde a todos los numeros reales menos aquellos que anulan el valor del denominador. (Esto se debe a que no existe un numero divido entre cero y por tanto la función no estaría definida en ese punto)

Explicación con ejemplo de como calcular el dominio de una función racional

Sea la función f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-1} , calculamos su dominio. Pasos a seguir:

  1. Igualamos a cero su denominador.
  2. El valor obtenido sera excluido de su dominio.

x-1=0

x=1

Por lo tanto, el dominio de esta funcion racional son todos los valores reales menos el 1

\mathrm{Dom}f(x)=\Re -{1}

Dominio de una función radical o irracional

Recordamos que las funciones radicales son aquellas que aparecen bajo el signo del radical. También son conocida como irracionales.

Ejemplo de función radical f(x)=\sqrt{x^2+1}

¿Cual es el dominio de este tipo de funciones y como calcularlo?

Para analizar y estudiar el dominio de este tipo de funciones, diferenciaremos dos tipos:

Funciones radicales con indice par

Están funciones no están definidas para números negativos. Por lo tanto, el dominio de una funcion radical de indice par sera todos los números reales excepto aquellos que hagan un numero negativo dentro del radical, o tambien lo podemos definir como aquellos valores que hagan igual o mayor que cero el termino dentro del radical.

Sea una función radical

  f(x)=\sqrt{g(x)}

El dominio es:

\mathrm{Dom}f(x)={x\in \Re | g(x)\geq 0}

En este grupo de funciones entran las funciones radicales cuadráticas.

Funciones radicales con indice impar

Las raíces de indice impar están definidas para todos los números reales. Por lo tanto, el dominio de una función radical con indice impar corresponderá  con el dominio de la función que se encuentre dentro del radical.

Sea una función radical

  f(x)=\sqrt{g(x)}

El dominio es:

\mathrm{Dom}f(x)={Dom}g(x)

Explicación con ejemplo de como calcular el dominio de una función racional

Sea la función f(x)=\sqrt{x^2-4} , calculamos su dominio. Pasos a seguir:

  1. Identificamos de que tipo es : funcion racional de indice par
  2. Resolvemos x^2-4\geq0
  3. Analizamos los valores que cumplen dicha condicion

x^2-4\geq0

x^2-4=0

x=\pm2

Construimos la llamada recta de valores y vemos en que intervalos es negativo y cuales positivo (damos valores comprendidos en dicho intervalo). Aquellos que sea positivo cumplen la condición del dominio.

  • \left ( -\infty,-2 \right ) \rightarrow +
  • \left ( -2,+2 \right ) \rightarrow -
  • \left ( 2,\infty \right ) \rightarrow +

Por lo tanto el dominio de esta función radical es:

\mathrm{Dom}f(x)=(-\infty,-2]\cup [2,+\infty)

Dominio de una función logarítmica

Recordamos la definición de función logarítmica .

¿Cual es el dominio de este tipo de funciones y como calcularlo?

El logaritmo no esta definido para números iguales o menores que cero, debido a su definición. Por lo tanto el dominio de una función logarítmica es aquel que haga positivo el valor del logaritmo.

Sea f(x)=\log _a g(x) una función logarítmica , su dominio es:

\mathrm{Dom}f(x)=\left \{ x\in \mathbb{R}\, | g(x)> 0 \right \}

Es decir, la función del logaritmo tiene que ser mayor que cero.

Explicación con ejemplo de como calcular el dominio de una función logarítmica

Sea la función logarítmica  f(x)=\log \dfrac{x-1}{x+2} , calculamos su dominio. En este caso es una función logarítmica con fracción (o racional)

Pasos a seguir:

  • Condición para el dominio : la función que esta contenida dentro del logaritmo tiene que ser mayor que cero

\dfrac{x-1}{x+2}>0

Para resolver esta desigualdad tenemos que buscar los valores que anulen el numerador y el denominador, colocarlos en la recto de valores y ver cuales intervalos son positivos y negativos, los que sean positivos son aquellos que cumplen la condición y por lo tanto se encuentran dentro del dominio.

x=1

x=-2

Por lo tanto, creamos los intervalos y damos valores para ver el signo de cada uno de los intervalos:

  • \left ( -\infty,-2 \right ) \rightarrow +
  • \left ( -2,+1 \right ) \rightarrow -
  • \left ( 1,\infty \right ) \rightarrow +

Por lo tanto el dominio de esta función logarítmica es:

\mathrm{Dom}f(x)=(-\infty,-2)\cup (1,+\infty)

Atención! En este caso los intervalos son todos abiertos por que no existe la posibilidad de igual a cero, si no mayor que cero.

Dominio de una función exponencial

Las funciones exponenciales son aquellas funciones que adoptan la siguiente forma:

f(x)=a^x

donde la base es un numero positivo y diferente a la unidad

Las funciones exponenciales mas conocidas son las de la base igual al numero e

f(x)=e^x

El dominio de las funciones exponenciales corresponden con todos los numero reales, por lo tanto para analizar su dominio lo que tendremos que hacer es analizar el dominio de la funcion que contengan. Dichas funciones exponenciales son continuas en su dominio.

Sea f(x)=\log _a g(x) una función exponencial , su dominio es:

\mathrm{Dom}f(x)=\mathrm{Dom}g(x)

Explicación con ejemplo de como calcular el dominio de una función exponencial

Sea la función exponencial  f(x)=e^{2x-x^2} , calculamos su dominio. En este caso es una función exponencial elevada a una función polinomio.

Para calcular su dominio nos fijamos en el dominio de la función polinomio. El dominio de una función polinomio son todos los reales , por lo tanto, el dominio de esta función exponencial corresponde con todos los reales.

\mathrm{Dom}f(x)=\Re

Dominio de una función trigonométrica

Recordamos que una función trigonométrica es aquella que asocia a cada valor de x, en radianes, una razón trigonométrica

Para analizar el dominio de las funciones trigonométricas, tendremos que analizar cada una de las diferentes funciones trigonométricas y sus propiedades

  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
  • Cosecante (inversa del seno)
  • Secante (inversa del coseno)
  • Cotangente (inversa de la tangente)

Seno

\mathrm{sen}

El dominio de la función trigonométrica seno corresponde con todos los reales. Por lo tanto, para analizar su dominio tendremos que analizar el dominio de la funcion que integre.

\mathrm{Dom}f(x)=\Re

Coseno

\mathrm{cos}

El dominio de la función trigonométrica coseno corresponde con todos los reales. Entonces para analizar su dominio tendremos que analizar el dominio de la función que integre.

\mathrm{Dom}f(x)=\Re

Tangente

\mathrm{\dfrac{sen}{cos}}

El dominio de la función trigonométrica tangente corresponde a todos los valores reales excepto aquellos que hacen cero su denominador (coseno)

\mathrm{Dom}f(x)=\left \{ x\in \mathbb{R}\, | g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right \}

Cosecante (inversa)

\mathrm{cosec}=\mathrm{\dfrac{1}{sen}}

Su dominio no esta definido para aquellos valores que hagan cero el seno. Por lo tanto:

\mathrm{Dom}f(x)=\left \{ x\in \mathbb{R}\, | g(x)\neq k\pi, k\in\mathbb{Z} \right \}

Secante (inversa)

\mathrm{sec}=\mathrm{\dfrac{1}{cos}}

Su dominio no esta definido para aquellos valores que hagan cero el coseno. Por lo tanto:

\mathrm{Dom}f(x)=\left \{ x\in \mathbb{R}\, | g(x)\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right \}

Tangente (inversa)

\mathrm{cotan}=\mathrm{\dfrac{cos}{sen}}

Su dominio no esta definido para aquellos valores que hagan cero la tangente. Por lo tanto:

\mathrm{Dom}f(x)=\left \{ x\in \mathbb{R}\, | g(x)\neq k\pi, k\in\mathbb{Z} \right \}

Explicación con ejemplo de como calcular el dominio de una función trigonométrica
Sea la función exponencial  f(x)=\mathrm{sen}(x^2+1) , calculamos su dominio. En este caso es una función trigonométrica con una función polinomio.

\mathrm{Dom}f(x)=\mathrm{Dom}x^2+1=\Re

Dominio de una función ejercicios resueltos

Recopilación con ejercicios resueltos de dominio de funciones.

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